Question

17．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{\sqrt{|x|}}}{e^x}$（x∈R），若關于x的方程f（x）-m+1=0恰好有3個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． $（1，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}+1）$
• B． $（0，\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}）$
• C． $（1，\frac{1}{e}+1）$
• D． $（\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}，1）$

Answer 1

分析 討論x的范圍，求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：當x≤0時，$f（x）=\frac{{\sqrt{-x}}}{e^x}$為減函數(shù)，f（x）_min=f（0）=0；
當x＞0時，$f（x）=\frac{{\sqrt{x}}}{e^x}$，$f'（x）=\frac{1-2x}{{2\sqrt{x}{e^x}}}$，
則$x＞\frac{1}{2}$時，f'（x）＜0，$0＜x＜\frac{1}{2}$時，f'（x）＞0，即f（x）在$（{0，\;\;\frac{1}{2}}）$上遞增，在$（{\frac{1}{2}，\;\;+∞}）$上遞減，
$f{（x）_{極大值}}=f（{\frac{1}{2}}）=\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}$．
其大致圖象如圖所示，

若關于x的方程f（x）-m+1=0恰好有3個不相等的實數(shù)根，
則$0＜m-1＜\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}$，即$1＜m＜1+\frac{{\sqrt{2e}}}{2e}$，
故選：A．

點評 本題主要考查函數(shù)根的個數(shù)的判斷，利用函數(shù)與方程之間的關系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題，求函數(shù)的導數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合進行求解是解決本題的關鍵．