Question

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所經(jīng)過的定點F，直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，設(shè)G是圓C上任意一點．
（1）求點F和圓C的方程；
（2）若直線FG與直線l交于點T，且G為線段FT的中點，求直線FG被圓C所截得的弦長；
（3）在平面上是否存在一點P，使得

GF

GP

=

1

2

？若存在，求出點P坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線方程分離參數(shù)，建立方程，可求F的坐標；利用左準線l與x軸的交點是圓C的圓心，確定圓心坐標，又圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，可求圓的半徑，從而可求圓C的方程；
（2）求出G的坐標，進而求出FG的方程，利用點到直線的距離公式求出C（-4，0）到FG的距離，再利用勾股定理即可求出弦長的一半，進而可求解；
（3）假設(shè)存在P（s，t），G（x₀，y₀），利用兩點間的距離公式化簡，結(jié)合G在圓C上，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）將直線方程變形為：k（4x+3y+8）+（x-2y+2）=0，
令4x+3y+8=0，x-2y+2=0，解得x=-2，y=0，∴F（-2，0）
∵直線l：x=-4與x軸的交點是圓C的圓心，∴C（-4，0）
∵圓C恰好經(jīng)過坐標原點O，∴r=4
∴圓C的方程為（x+4）²+y²=16；
（2）由題意G的橫坐標為-3，則y=±

15

，∴直線FG的方程為y=±

15

（x+2）
∴圓心到直線的距離為d=

15

2

，∴直線FG被圓C所截得的弦長為2

16- 15 4

=7；
（3）設(shè)P（s，t），G（x₀，y₀），則由

GF

GP

=

1

2

，得

(x0+6)2+y02

(x0-s)2+(y0-t)2

=

1

2

整理得3（x₀²+y₀²）+（48+2s）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．①
又G（x₀，y₀）在圓C：（x+4）²+y²=16上，所以x₀²+y₀²+8x₀=0   ②
②代入①，得（2s+24）x₀+2ty₀+144-s²-t²=0．
又由G（x₀，y₀）為圓C上任意一點可知，

2s+24=0 2t=0 144-s2-t2=0

解得：s=-12，t=0．
所以在平面上存在一定點P，其坐標為（-12，0）．

點評：本題考查圓的標準方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查弦長公式，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是假設(shè)存在，建立等式，利用恒成立的條件．