已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8．則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為    ．
【答案】分析：條件中給出一個(gè)直線系，需要先求出直線所過(guò)的定點(diǎn)，根據(jù)定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，及橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8，寫出橢圓中三個(gè)字母系數(shù)要滿足的條件，解方程組得到結(jié)果，寫出橢圓的方程．
解答：解：由（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0得（x-2y-3）+k（4x+3y-12）=0，
由 ，解得F（3，0）．
設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ，則
解得 a=5，b=4，c=3，
從而橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ．
故答案為：
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線之間的關(guān)系，題目中首先求橢圓的方程，這是這類題目常用的一種形式，屬于基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F，直線l：x=-4與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)F和圓C的方程；
（2）若直線FG與直線l交于點(diǎn)T，且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線FG被圓C所截得的弦長(zhǎng)；
（3）在平面上是否存在一點(diǎn)P，使得
GF
GP
=
1
2
？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8．則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為
x2
25
+
y2
16
=1
x2
25
+
y2
16
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•江蘇模擬）已知直線（1+4k）x-（2-3k）y-（3+12k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F恰好是橢圓C的一個(gè)焦點(diǎn)，且橢圓C上的點(diǎn)到點(diǎn)F的最大距離為8．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知圓O：x2+y2=1，直線l：mx+ny=1．試證明當(dāng)點(diǎn)P（m，n）在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l與圓O恒相交；并求直線l被圓O所截得的弦長(zhǎng)的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年江蘇省無(wú)錫市江陰二中高二（上）期中數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

已知直線（1+4k）x-（2-3k）y+（2+8k）=0（k∈R）所經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)F，直線l：x=-4與x軸的交點(diǎn)是圓C的圓心，圓C恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，設(shè)G是圓C上任意一點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)F和圓C的方程；
（2）若直線FG與直線l交于點(diǎn)T，且G為線段FT的中點(diǎn)，求直線FG被圓C所截得的弦長(zhǎng)；
（3）在平面上是否存在一點(diǎn)P，使得？若存在，求出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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