Question

13．已知圓C：x²+y²-4x+2y+m=0與y軸交于A，B兩點(diǎn)，且∠ACB=90°（C為圓心），過點(diǎn)P（0，2）且斜率為k的直線與圓C相交于M，N兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）若|MN|≥4，求k的取值范圍；
（Ⅲ）若向量$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$與向量$\overrightarrow{OC}$共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意知，△ABC為等腰直角三角形．設(shè)A，B的中點(diǎn)為D，連接CD，則△ACD也為等腰直角三角形，即可求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=kx+2，求出圓心（2，-1）到直線y=kx+2的距離，由$r=2\sqrt{2}$，|MN|≥4，可得$\frac{|2k+3|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}≤2$，即可解得k的取值范圍；
（Ⅲ）若向量$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$與向量$\overrightarrow{OC}$共線（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則$\frac{6k-4}{{1+{k^2}}}=2×\frac{{-2{k^2}+4k+4}}{{1+{k^2}}}$，即2k²-k-6=0，從而求k的值．

解答 解：（Ⅰ）由C：x²+y²-4x+2y+m=0得（x-2）²+（y+1）²=-m+5，
所以圓心C（2，-1），r²=5-m．-----------------------（2分）
由題意知，△ABC為等腰直角三角形．
設(shè)A，B的中點(diǎn)為D，連接CD，則△ACD也為等腰直角三角形，
∴$AC=\sqrt{2}CD=2\sqrt{2}$，∴5-m=8，m=-3．-----------------------（4分）
（Ⅱ）設(shè)直線方程為y=kx+2，
則圓心（2，-1）到直線y=kx+2的距離$d=\frac{|2k+1+2|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{|2k+3|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}$-------（5分）
由$r=2\sqrt{2}$，|MN|≥4，可得$\frac{|2k+3|}{{\sqrt{1+{k^2}}}}≤2$，解得$k≤-\frac{5}{12}$
所以k的取值范圍為$（-∞，-\frac{5}{12}]$-------------（7分）
（Ⅲ）聯(lián)立直線與圓的方程$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+{y^2}-4x+2y-3=0\\ y=kx+2\end{array}\right.$，
消去變量y得（1+k²）x²+（6k-4）x+5=0，-------------（8分）
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由韋達(dá)定理得${x_1}+{x_2}=\frac{4-6k}{{1+{k^2}}}$，
因為直線與圓C相交于不同的兩點(diǎn)M，N，
則有△=（6k-4）²-20（1+k²）＞0，整理得4k²-12k-1＞0，
解得$k＞\frac{{3+\sqrt{10}}}{2}$或$k＜\frac{{3-\sqrt{10}}}{2}$-------------（10分）
${y_1}+{y_2}=k（{x_1}+x_2^{\;}）+4=\frac{{-2{k^2}+4k+4}}{{1+{k^2}}}$，
∴$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）=（\frac{4-6k}{{1+{k^2}}}，\frac{{-2{k^2}+4k+4}}{{1+{k^2}}}）$，$\overrightarrow{OC}=（2，-1）$，
若向量$\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{ON}$與向量$\overrightarrow{OC}$共線，則$\frac{6k-4}{{1+{k^2}}}=2×\frac{{-2{k^2}+4k+4}}{{1+{k^2}}}$，
2k²-k-6=0⇒k=2或$k=-\frac{3}{2}$．-------------（13分）
經(jīng)檢驗k=2不滿足$k＞\frac{{3+\sqrt{10}}}{2}$或$k＜\frac{{3-\sqrt{10}}}{2}$，
所以存在實數(shù)$k=-\frac{3}{2}$滿足題意．-------------（14分）

點(diǎn)評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運(yùn)用，考查韋達(dá)定理，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．