Question

已知函數(shù)f（x）和g（x）滿足g（x）+f（x）=x 

1

2

，g（x）-f（x）=x -

1

2

．
（1）求函數(shù)f（x）和g（x）的表達式；
（2）試比較g²（x）與g（x²）的大��；
（3）分別求出f（4）-2f（2）g（2）和f（9）-2f（3）g（3）的值，由此概括出函數(shù)f（x）和g（x）對所有大于0的實數(shù)x都成立的一個公式，并加以證明．

Answer 1

考點：函數(shù)解析式的求解及常用方法,函數(shù)的值

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知中的f（x），g（x）的關(guān)系式即可解出f（x），g（x）；
（2）分別求出g²（x），g（x²）并作差即可；
（3）帶入f（x），g（x）的解析式即可求出這兩組值，并歸納出結(jié)論：x＞0，f（x²）-2f（x）g（x）=0．

解答： 解：（1）由已知條件即可求得：f（x）=

x 1 2 -x- 1 2

2

，g（x）=

x 1 2 +x- 1 2

2

；
（2）g2(x)-g(x2)=

x+2+x-1

4

-

x+x-1

2

=-

x-2+x-1

4

=-

(x 1 2 -x- 1 2 )2

4

≤0；
∴g²（x）≤g（x²），當(dāng)x=1時取“=“；
（3）f（4）-2f（2）g（2）=

3

4

-

3

4

=0，f（9）-2f（3）g（3）=

4

3

-

4

3

=0；
得到的結(jié)論：若x＞0，則f（x²）-2f（x）g（x）=0，證明如下：
f(x2)-2f(x)g(x)=

x-x-1

2

-2•

x-x-1

4

=0．

點評：考查根據(jù)f（x），g（x）的關(guān)系式求函數(shù)f（x），g（x）的解析式的方法，根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)值．