Question

14．某經銷商從沿海城市水產養(yǎng)殖廠購進一批某海魚，隨機抽取50條作為樣本進行統計，按海魚重量（克）得到如圖的頻率分布直方圖：

（Ⅰ）若經銷商購進這批海魚100千克，試估計這批海魚有多少條（同一組中的數據用該區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅱ）根據市場行情，該海魚按重量可分為三個等級，如下表：

等級	一等品	二等品	三等品
重量（g）	[165，185]	[155，165）	[145，155）

若經銷商以這50條海魚的樣本數據來估計這批海魚的總體數據，視頻率為概率．現從這批海魚中隨機抽取3條，記抽到二等品的條數為X，求x的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由頻率分布直方圖先求出每條海魚平均重量，由此能估計這批海魚有多少條．
（Ⅱ）從這批海魚中隨機抽取3條，[155，165）的頻率為0.04×10=0.4，則X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（Ⅰ）由頻率分布直方圖得每條海魚平均重量為：
$\overline{x}$=150×0.016×10+160×0.040×10+170×0.032×10+180×0.012×10=164（g），
∵經銷商購進這批海魚100千克，
∴估計這批海魚有：（100×1000）÷164≈610（條）．
（Ⅱ）從這批海魚中隨機抽取3條，[155，165）的頻率為0.04×10=0.4，
則X～B（3，0.4），
P（X=0）=${C}_{3}^{0}（0.6）^{3}$=0.216，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（0.4）（0.6）^{2}$=0.432，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（0.4）^{2}（0.6）$=0.288，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（0.4）^{3}$=0.064，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

∴E（X）=3×0.4=1.2．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．