Question

（本小題12分）已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，

它的一個(gè)頂點(diǎn)B恰好是拋物線的焦點(diǎn)。

（1）求橢圓C的方程；

（2）直線與橢圓C交于兩點(diǎn)，那么橢圓C的右焦點(diǎn)是否可以成為的垂心？若可以，求出直線的方程；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注: 垂心是三角形三條高線的交點(diǎn)）

Answer 1

（1）；（2）可以， .

【解析】

試題分析：（1）拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為（0，1），可得c=1．再利用，即可得出．

（2）利用三角形垂心的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系可得直線的斜率為1．設(shè)直線的方程為y=x+m，代入橢圓方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．設(shè)，利用根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

試題解析：（1）設(shè)橢圓方程為，

拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為（0，1），

由，

∴橢圓方程為．

（2）假設(shè)存在直線，使得點(diǎn)F是△BMN的垂心．

易知直線BF的斜率為﹣1，從而直線的斜率為1．

設(shè)直線的方程為y=x+m，代入橢圓方程并整理，可得3x2+4bx+2（b2﹣1）=0．

設(shè)，

則，．

于是

，

解之得m=1或m=﹣．

當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)B即為直線與橢圓的交點(diǎn)，不合題意；

當(dāng)m=﹣時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意．

∴當(dāng)且僅當(dāng)直線的方程為時(shí)，點(diǎn)F是△BMN的垂心．

考點(diǎn)：橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)；三角形垂心的性質(zhì)；相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系；直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系；向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系；推理能力與計(jì)算能力.