Question

12．如圖，曲線C由左半橢圓M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0，x≤0）和圓N：（x-2）²+y²=5在y軸右側(cè)的部分連接而成，A，B是M與N的公共點，點P，Q（均異于點A，B）分別是M，N上的動點．
（1）若|PQ|的最大值為4+$\sqrt{5}$，求半橢圓M的方程；
（2）若直線PQ過點A，且$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{BP}$⊥$\overrightarrow{BQ}$，求半橢圓M的離心率．

Answer 1

分析 （1）A（0，1），B（0，-1），故b=1，|PQ|的最大值為4+$\sqrt{5}$=a+2+$\sqrt{5}$，解得a即可得出．
（2）設(shè)PQ方程：y=kx+1，與圓N的方程聯(lián)立可得：（k²+1）x²+（2k-4）x=0，解得Q坐標(biāo)．利用$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AQ}$=（x_Q，y_Q-1）可得P的坐標(biāo)．利用$\overrightarrow{BP}$⊥$\overrightarrow{BQ}$，可得$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$=0，解得k．代入橢圓方程解得a²，即可得出．

解答 解：（1）A（0，1），B（0，-1），故b=1，|PQ|的最大值為4+$\sqrt{5}$=a+2+$\sqrt{5}$，解得a=2．
∴半橢圓M的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1（-2≤x≤0）．
（2）設(shè)PQ方程：y=kx+1，與圓N的方程聯(lián)立可得：（k²+1）x²+（2k-4）x=0，
x_A+x_Q=$\frac{4-2k}{1+{k}^{2}}$，x_A=0，∴Q$（\frac{4-2k}{1+{k}^{2}}，\frac{-{k}^{2}+4k+1}{1+{k}^{2}}）$．∵$\overrightarrow{AQ}$+$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{AQ}$=（x_Q，y_Q-1）
$\overrightarrow{AP}$=（x_P，y_P-1），∴x_P+x_Q=0，y_P+y_Q=2．
∴x_P=$\frac{2k-4}{1+{k}^{2}}$，y_P=$\frac{3{k}^{2}-4k+1}{1+{k}^{2}}$．
∵$\overrightarrow{BP}$⊥$\overrightarrow{BQ}$，∴$\overrightarrow{BP}•\overrightarrow{BQ}$=x_Px_Q+（y_P+1）（y_Q+1）=$\frac{-（2k-4）^{2}}{（1+{k}^{2}）^{2}}$+$\frac{（-{k}^{2}+4k+1）（3{k}^{2}-4k+1）}{（{k}^{2}+1）^{2}}$+2+1=（k²+1）（16k-12）=0，
解得k=$\frac{3}{4}$．故P$（-\frac{8}{5}，-\frac{1}{5}）$．代入橢圓方程可得：$\frac{64}{25{a}^{2}}$+$\frac{1}{25}$=1，解得a²=$\frac{8}{3}$．
∴半橢圓M的離心率e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題考查了橢圓與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方程及其性質(zhì)、向量坐標(biāo)運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．