Question

1．已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的最小正周期為π，f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則f（x+$\frac{π}{12}$）+f（x-$\frac{π}{6}$）的最大值為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 由周期求出ω，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性求得φ的值，可得f（x+$\frac{π}{12}$）+f（x-$\frac{π}{6}$）的解析式，再利用正弦函數(shù)的最大值求得它的最大值．

解答 解：∵已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$的最小正周期為π，∴$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
∵f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位后所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為y=sin（2x+$\frac{2π}{3}$+φ）為偶函數(shù)，
∴$\frac{2π}{3}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得φ=kπ-$\frac{π}{6}$，又|φ|＜$\frac{π}{2}$，
故 φ=-$\frac{π}{6}$，f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）．
則f（x+$\frac{π}{12}$）+f（x-$\frac{π}{6}$）=sin（2x）+sin（2x-$\frac{π}{2}$）=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$），
故它的最大值為$\sqrt{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，三角函數(shù)的奇偶性求得φ的值，正弦函數(shù)的最大值，屬于基礎(chǔ)題．