Question

如圖，已知圓O的直徑AB=4，定直線(xiàn)L到圓心的距離為4，且直線(xiàn)L垂直直線(xiàn)AB。點(diǎn)P是圓O上異于A、B的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PA、PB分別交L與M、N點(diǎn)。
（Ⅰ）若∠PAB=30°，求以MN為直徑的圓方程；
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，求證：以MN為直徑的圓必過(guò)圓O內(nèi)的一定點(diǎn)。  

Answer 1

解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
⊙O的方程為，
直線(xiàn)L的方程為。
（Ⅰ）∵∠PAB=30°，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，
∴，。
將x=4代入，得。
∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），MN=。
∴以MN為直徑的圓的方程為。
同理，當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，所求圓的方程仍是。
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，∴（），∴。
∵，
將x=4代入，得，
。∴，MN=。
MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為。
以MN為直徑的圓截x軸的線(xiàn)段長(zhǎng)度為
為定值。
∴⊙必過(guò)⊙O 內(nèi)定點(diǎn)。

略