【題目】如圖,在四棱錐中,底面為矩形,側(cè)面底面,為棱的中點,為棱上任意一點,且不與點、點重合..
(1)求證:平面平面;
(2)是否存在點使得平面與平面所成的角的余弦值為?若存在,求出點的位置;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)證明見解析 (2)存在,為中點
【解析】
(1)證明面,即證明平面平面;(2)以為坐標(biāo)原點,為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.利用向量方法得,解得,所以為中點.
(1)由于為中點,.
又,故,
所以為直角三角形且,
即.
又因為面,面面,面面,
故面,
又面,所以面面.
(2)由(1)知面,又四邊形為矩形,則兩兩垂直.
以為坐標(biāo)原點,為軸正方向,為軸正方向,為軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系.
則,設(shè),
則,
設(shè)平面的法向量為,
則有,令,則,
則平面的一個法向量為,
同理可得平面的一個法向量為,
設(shè)平面與平面所成角為,
則由題意可得,解得,
所以點為中點.
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【題目】設(shè)橢圓的離心率為,橢圓上一點到左右兩個焦點的距離之和是4.
(1)求橢圓的方程;
(2)已知過的直線與橢圓交于兩點,且兩點與左右頂點不重合,若,求四邊形面積的最大值。
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【題目】河道上有一拋物線型拱橋,在正常水位時,拱圈最高點距水面8m,拱圈內(nèi)水面寬24m,一條船在水面以上部分高6.5m,船頂部寬6m.
(1)試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,求拱橋所在的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)近日水位暴漲了1.54m,為此,必須加重船載,降低船身,才能通過橋洞,試問:船身至少應(yīng)該降低多少?(精確到0.1m)
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【題目】如圖,設(shè)拋物線與的公共點的橫坐標(biāo)為,過且與相切的直線交于另一點,過且與相切的直線交于另一點,記為的面積.
(Ⅰ)求的值(用表示);
(Ⅱ)若,求的取值范圍.
注:若直線與拋物線有且只有一個公共點,且與拋物線的對稱軸不平行也不重合,則稱該直線與拋物線相切.
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【題目】隨著智能手機的普及,使用手機上網(wǎng)成為了人們?nèi)粘I畹囊徊糠,很多消費者對手機流量的需求越來越大.某通信公司為了更好地滿足消費者對流量的需求,準(zhǔn)備推出一款流量包.該通信公司選了人口規(guī)模相當(dāng)?shù)?/span>個城市采用不同的定價方案作為試點,經(jīng)過一個月的統(tǒng)計,發(fā)現(xiàn)該流量包的定價: (單位:元/月)和購買總?cè)藬?shù)(單位:萬人)的關(guān)系如表:
定價x(元/月) | 20 | 30 | 50 | 60 |
年輕人(40歲以下) | 10 | 15 | 7 | 8 |
中老年人(40歲以及40歲以上) | 20 | 15 | 3 | 2 |
購買總?cè)藬?shù)y(萬人) | 30 | 30 | 10 | 10 |
(Ⅰ)根據(jù)表中的數(shù)據(jù),請用線性回歸模型擬合與的關(guān)系,求出關(guān)于的回歸方程;并估計元/月的流量包將有多少人購買?
(Ⅱ)若把元/月以下(不包括元)的流量包稱為低價流量包,元以上(包括元)的流量包稱為高價流量包,試運用獨立性檢驗知識,填寫下面列聯(lián)表,并通過計算說明是否能在犯錯誤的概率不超過的前提下,認(rèn)為購買人的年齡大小與流量包價格高低有關(guān)?
定價x(元/月) | 小于50元 | 大于或等于50元 | 總計 |
年輕人(40歲以下) | |||
中老年人(40歲以及40歲以上) | |||
總計 |
參考公式:其中
其中
參考數(shù)據(jù):
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若,求實數(shù)的取值范圍;
(2)設(shè)函數(shù)的極大值為,極小值為,求的取值范圍.
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【題目】已知橢圓的一個焦點為,上頂點為,原點O到直線的距離為.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若點T在圓上,點A為橢圓的右頂點,是否存在過點A的直線l交橢圓C于點B(異于點A),使得成立?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請說明理由.
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【題目】隨著互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟不斷發(fā)展,網(wǎng)上開店銷售農(nóng)產(chǎn)品的人群越來越多,網(wǎng)上交易額也逐年增加,某一農(nóng)戶農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)五年的網(wǎng)銀交易額統(tǒng)計表,如下所示:
年份 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 |
網(wǎng)上交易額(萬元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
經(jīng)研究發(fā)現(xiàn),年份與網(wǎng)銀交易額之間呈線性相關(guān)關(guān)系,為了計算的方便,農(nóng)戶將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理,,得到如表:
時間代號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)通過(1)中的方程.求出關(guān)于的回歸方程;并用所求回歸方程預(yù)測到2020年年底,該農(nóng)戶網(wǎng)店網(wǎng)銀交易額可達(dá)多少?
(附:在線性回歸方程中,,)
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【題目】如圖所示,在多面體中,四邊形為平行四邊形,平面平面,,,,,,,點是棱上的動點.
(Ⅰ)當(dāng)時,求證平面;
(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值;
(Ⅲ)若二面角所成角的余弦值為,求線段的長.
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