Question

17．△ABC的面積為S，α是三角形的內(nèi)角，O是平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，且滿足$\sqrt{2}$$\overrightarrow{OA}$+sinα$\overrightarrow{OB}$+cosα$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{0}$，則下列判斷正確的是（　　）

• A． S_△AOC的最小值為$\frac{1}{2}$S
• B． S_AOB的最小值為（$\sqrt{2}$-1）S
• C． S_△AOC+S_△AOB的最大值為$\frac{1}{2}$S
• D． S_△BOC的最大值為（$\sqrt{2}$-1）S

Answer 1

分析 可先證明一個(gè)結(jié)論：${S}_{△BOC}•\overrightarrow{OA}+{S}_{△AOC}•\overrightarrow{OB}+{S}_{△AOB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$，可作出圖形，過(guò)A作OB的平行線，交CO延長(zhǎng)線于M，過(guò)A作OC的平行線，交BO的延長(zhǎng)線于N，這樣得到了平行四邊形AMON．而根據(jù)相似三角形的比例關(guān)系，可以用$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{AM}$，同理可用$\overrightarrow{OC}$表示$\overrightarrow{AN}$，從而得出$\overrightarrow{AO}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{OB}+\frac{AD}{DC}•\overrightarrow{OC}$，這時(shí)候可以說(shuō)明$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOC}}=\frac{AF}{FB}，\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}=\frac{AD}{DC}$，這樣即可得出前面的結(jié)論．從而得到${S}_{△AOC}+{S}_{△AOB}=\frac{sinα+cosα}{\sqrt{2}+sinα+cosα}•S$，這樣可以說(shuō)明$\frac{sinα+cosα}{\sqrt{2}+sinα+cosα}$的最大值為$\frac{1}{2}$，從而可以找出正確選項(xiàng)．

解答 解：如圖，連接AO，并延長(zhǎng)AO交BC于D，連結(jié)BO并延長(zhǎng)交AC于E，連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB與F，過(guò)A作AM∥BD交CF延長(zhǎng)線于M，作AN∥CF交BD延長(zhǎng)線于N，則四邊形AMON為平行四邊形；
∴$\overrightarrow{AO}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{AN}$；
△AMF∽△BOF；
∴$\frac{AM}{OB}=\frac{AF}{FB}$；
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{OB}$，同理得$\overrightarrow{AN}=\frac{AD}{DC}•\overrightarrow{OC}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{AF}{FB}•\overrightarrow{OB}+\frac{AD}{DC}•\overrightarrow{OC}$；
∵△AOC與△BOC有公共的底邊OC，設(shè)它們的相應(yīng)的高分別為h₁，h₂；
則$\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOC}}=\frac{{h}_{1}}{{h}_{2}}=\frac{AF}{FB}$，$\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}=\frac{AD}{DC}$；
∴$\overrightarrow{AO}=\frac{{S}_{△AOC}}{{S}_{△BOC}}•\overrightarrow{OB}+\frac{{S}_{△AOB}}{{S}_{△BOC}}•\overrightarrow{OC}$；
∴${S}_{△BOC}•\overrightarrow{AO}={S}_{△AOC}•\overrightarrow{OB}+{S}_{△AOB}•\overrightarrow{OC}$；
∴${S}_{△BOC}•\overrightarrow{OA}+{S}_{△AOC}•\overrightarrow{OB}+{S}_{△AOB}•\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
又$\sqrt{2}\overrightarrow{OA}+sinα\overrightarrow{OB}+cosα\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}$；
∴${S}_{△AOC}+{S}_{AOB}=\frac{sinα+cosα}{\sqrt{2}+sinα+cosα}•S$=$\frac{sin（α+\frac{π}{4}）}{sin（α+\frac{π}{4}）+1}•S=[1-\frac{1}{sin（α+\frac{π}{4}）+1}]•S$；
∴$α=\frac{π}{4}$時(shí)，$1-\frac{1}{sin（α+\frac{π}{4}）+1}$取最大值$\frac{1}{2}$；
∴S_△AOC+S_△AOB的最大值為$\frac{1}{2}S$．
故選C．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比例關(guān)系，向量數(shù)乘的幾何意義，以及三角形的面積公式，兩角和的正弦公式，分離常數(shù)法的運(yùn)用．