Question

【題目】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動點(diǎn)M在橢圓C上，過M作x軸的垂線，垂足為N，點(diǎn)P滿足.

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，且.證明：過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F.

Answer 1

【答案】(1) .(2)證明見解析.

【解析】試題分析：（1）轉(zhuǎn)移法求軌跡：設(shè)所求動點(diǎn)坐標(biāo)及相應(yīng)已知動點(diǎn)坐標(biāo)，利用條件列兩種坐標(biāo)關(guān)系，最后代入已知動點(diǎn)軌跡方程，化簡可得所求軌跡方程；（2）證明直線過定點(diǎn)問題，一般方法是以算代證：即證，先設(shè) P（m，n），則需證，即根據(jù)條件可得，而，代入即得.

試題解析：解：（1）設(shè)P（x，y），M（）,則N（），

由得.

因?yàn)镸（）在C上，所以.

因此點(diǎn)P的軌跡為.

由題意知F（-1,0），設(shè)Q（-3，t），P（m，n），則

，

.

由得-3m-+tn-=1，學(xué)&科網(wǎng)又由（1）知，故

3+3m-tn=0.

所以，即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F.

點(diǎn)睛:定點(diǎn)、定值問題通常是通過設(shè)參數(shù)或取特殊值來確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問題，證明該式是恒成立的. 定點(diǎn)、定值問題同證明問題類似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn).