Question

【題目】已知m，n∈R＋，f(x)＝|x＋m|＋|2x－n|.

(1)當(dāng)m＝n＝1時(shí)，求f(x)的最小值；

(2)若f(x)的最小值為2，求證.

Answer 1

【答案】(1) . (2)見解析.

【解析】試題分析：（1）代入m＝n＝1，卻掉絕對(duì)值，得到分段函數(shù)，判定分段函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的最小值；

（2）由題意得，函數(shù)的最小值為2，得 ，利用基本不等式求解最值，即可證明.

試題解析：

(1)∵f(x)＝

∴f(x)在(－∞，)是減函數(shù)，在(，＋∞)是增函數(shù)，∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最小值.

(2)∵f(x)＝，

∴f(x)在(－∞，)是減函數(shù)，在(，＋∞)是增函數(shù)，

∴當(dāng)x＝時(shí)，f(x)取最小值f()＝m＋.

∵m，n∈R，∴＋＝ (＋)(m＋)

＝ (2＋＋)≥2

點(diǎn)晴:本題主要考查了絕含有絕對(duì)值的函數(shù)的最小值問題及分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)、基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔試題，著重考查了分類討論思想與轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，本題的解答中，根據(jù)絕對(duì)值的概念合理去掉絕對(duì)值號(hào)，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)，利用分段函數(shù)的圖象與性質(zhì)，確定函數(shù)的最小值，構(gòu)造基本不等式的條件，利用基本不等式是解答問題的關(guān)鍵.