【題目】已知函數(shù)（）.

（Ⅰ）若曲線在點(diǎn)處的切線與軸垂直，求的值；

（Ⅱ）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)， .

【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）.（Ⅲ）見(jiàn)解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在點(diǎn)處的切線與軸垂直，可得切線的斜率，從而可求 的值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即有兩個(gè)不同的根，且的值在根的左、右兩側(cè)符號(hào)相反.

令，討論其性質(zhì)即可得到的取值范圍；

（Ⅲ）令（），則， .

令，討論的性質(zhì)可得以時(shí)， ，即時(shí)， .

試題解析:（（Ⅰ）由得.

因?yàn)榍�在點(diǎn)處的切線與軸垂直，

所以，解得.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則，即有兩個(gè)不同的根，且的值在根的左、右兩側(cè)符號(hào)相反.

令，則，

所以當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)， ， 單調(diào)遞增.

又當(dāng)時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí)， ； 時(shí)， ，

所以.即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是.

（Ⅲ）證明：令（），則， .

令，則 ，

因?yàn)?/span>，所以， ， ， ，

所以，即在時(shí)單調(diào)遞增，

又，所以時(shí)， ，即函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增.

所以時(shí)， ，即時(shí)， .

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某公司為了解用戶對(duì)其產(chǎn)品的滿意度，從兩地區(qū)分別隨機(jī)調(diào)查了40個(gè)用戶，根據(jù)用戶對(duì)產(chǎn)品的滿意度評(píng)分，得到地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖和地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表.

地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖

地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻數(shù)分布表

滿意度評(píng)分分組

頻數(shù)

2

8

14

10

6

（1）在答題卡上作出地區(qū)用戶滿意度評(píng)分的頻率分布直方圖，并通過(guò)直方圖比較兩地區(qū)滿意度評(píng)分的平均值及分散程度（不要求計(jì)算出具體值，給出結(jié)論即可）；

（2）根據(jù)用戶滿意度評(píng)分，將用戶的滿意度從低到高分為三個(gè)等級(jí)：

估計(jì)哪個(gè)地區(qū)的滿意度等級(jí)為不滿意的概率大？說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知直角梯形中，是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，．沿將折起，使至處，且；然后再將沿折起，使至處，且面面，和在面的同側(cè)．

(Ⅰ) 求證：平面；

(Ⅱ) 求平面與平面所構(gòu)成的銳二面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】經(jīng)銷(xiāo)商經(jīng)銷(xiāo)某種農(nóng)產(chǎn)品，在一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)，每售出該產(chǎn)品獲利潤(rùn)500元，未售出的產(chǎn)品，每虧損300元．根據(jù)歷史資料，得到銷(xiāo)售季度內(nèi)市場(chǎng)需求量的頻率分布直圖，如圖所示．經(jīng)銷(xiāo)商為下一個(gè)銷(xiāo)售季度購(gòu)進(jìn)了該農(nóng)產(chǎn)品．以（）表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)的市場(chǎng)需求量， （單位：元）表示下一個(gè)銷(xiāo)售季度內(nèi)經(jīng)銷(xiāo)該農(nóng)產(chǎn)品的利潤(rùn)．

（Ⅰ）將表示為的函數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)直方圖估計(jì)利潤(rùn)不少于57000元的概率．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】2017年“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇于今年5月14日至15日在北京舉行.為高標(biāo)準(zhǔn)完成高峰論壇會(huì)議期間的志愿服務(wù)工作，將從27所北京高校招募大學(xué)生志愿者，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從是否有意愿做志愿者在某高校訪問(wèn)了80人，經(jīng)過(guò)統(tǒng)計(jì)，得到如下丟失數(shù)據(jù)的列聯(lián)表：（，表示丟失的數(shù)據(jù)）

無(wú)意愿

有意愿

總計(jì)

男

40

女

5

總計(jì)

25

80

（1）求出的值，并判斷：能否有99.9%的把握認(rèn)為有意愿做志愿者與性別有關(guān)；

（2）若表中無(wú)意愿做志愿者的5個(gè)女同學(xué)中，3個(gè)是大學(xué)三年級(jí)同學(xué)，2個(gè)是大學(xué)四年級(jí)同學(xué).現(xiàn)從這5個(gè)同學(xué)中隨機(jī)選2同學(xué)進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，求這2個(gè)同學(xué)是同年級(jí)的概率.

附參考公式及數(shù)據(jù)： ，其中.

0.40

0.25

0.10

0.010

0.005

0.001

0.708

1.323

2.706

6.635

7.879

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】語(yǔ)文成績(jī)服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如下：

（Ⅰ）如果成績(jī)大于135的為特別優(yōu)秀，這500名學(xué)生中本次考試語(yǔ)文、數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的大約各多少人？（假設(shè)數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)陬l率分布直方圖中各段是均勻分布的）

（Ⅱ）如果語(yǔ)文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有6人，從（Ⅰ）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都特別優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（附參考公式）若，則， ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“共享單車(chē)”的出現(xiàn)，為我們提供了一種新型的交通方式.某機(jī)構(gòu)為了調(diào)查人們對(duì)此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴(yán)重的城市和交通擁堵嚴(yán)重的城市分別隨機(jī)調(diào)查了20個(gè)用戶，得到了一個(gè)用戶滿意度評(píng)分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：

（Ⅰ）根據(jù)莖葉圖，比較兩城市滿意度評(píng)分的平均值的大小及方差的大�。ú灰缶唧w解答過(guò)程，給出結(jié)論即可）；

（Ⅱ）若得分不低于80分，則認(rèn)為該用戶對(duì)此種交通方式“認(rèn)可”，否則認(rèn)為該用戶對(duì)此種交通方式“不認(rèn)同”，請(qǐng)根據(jù)此樣本完成此列聯(lián)表，并局此樣本分析是否有95%的把握認(rèn)為城市擁堵與認(rèn)可共享單車(chē)有關(guān)；

（Ⅲ）若此樣本中的城市和城市各抽取1人，則在此2人中恰有一人認(rèn)可的條件下，此人來(lái)自城市的概率是多少？

合計(jì)

認(rèn)可

不認(rèn)可

合計(jì)

附：

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是， ，且橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，求線段的長(zhǎng).

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