【題目】已知圓心為的圓,滿足下列條件:圓心位于軸正半軸上,與直線相切且被軸截得的弦長為,圓的面積小于13.
(Ⅰ)求圓的標準方程;
(Ⅱ)設(shè)過點的直線與圓交于不同的兩點,以為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線,使得直線與恰好平行?如果存在,求出的方程;如果不存在,請說明理由.
【答案】(1) .
(2) 不存在這樣的直線.
【解析】試題分析:(I)用待定系數(shù)法即可求得圓C的標準方程;(Ⅱ)首先考慮斜率不存在的情況.當斜率存在時,設(shè)直線l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2).l與圓C相交于不同的兩點,那么Δ>0.由題設(shè)及韋達定理可得k與x1、x2之間關(guān)系式,進而求出k的值.若k的值滿足Δ>0,則存在;若k的值不滿足Δ>0,則不存在.
試題解析:(I)設(shè)圓C:(x-a)2+y2=R2(a>0),由題意知
解得a=1或a=, 3分
又∵S=πR2<13,
∴a=1,
∴圓C的標準方程為:(x-1)2+y2=4. 6分
(Ⅱ)當斜率不存在時,直線l為:x=0不滿足題意.
當斜率存在時,設(shè)直線l:y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2),
又∵l與圓C相交于不同的兩點,
聯(lián)立消去y得:(1+k2)x2+(6k-2)x+6=0, 9分
∴Δ=(6k-2)2-24(1+k2)=36k2-6k-5>0,
解得或.
x1+x2=,y1+ y2=k(x1+x2)+6=,
,,
假設(shè)∥,則,
∴,
解得,假設(shè)不成立.
∴不存在這樣的直線l. 13分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線C:y2=2px(p>0)過點M(m,2),其焦點為F,且|MF|=2.
(Ⅰ)求拋物線C的方程;
(Ⅱ)設(shè)E為y軸上異于原點的任意一點,過點E作不經(jīng)過原點的兩條直線分別與拋物線C和圓F:(x﹣1)2+y2=1相切,切點分別為A,B,求證:直線AB過定點F(1,0).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈( )
A. 1盞 B. 3盞 C. 5盞 D. 9盞
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】東莞市公交公司為了方便廣大市民出行,科學(xué)規(guī)劃公交車輛的投放,計劃在某個人員密集流動地段增設(shè)一個起點站,為了研究車輛發(fā)車的間隔時間與乘客等候人數(shù)之間的關(guān)系,選取一天中的六個不同的時段進行抽樣調(diào)查,經(jīng)過統(tǒng)計得到如下數(shù)據(jù):
間隔時間(分鐘) | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 |
等候人數(shù)(人) | 16 | 19 | 23 | 26 | 29 | 33 |
調(diào)查小組先從這6組數(shù)據(jù)中選取其中的4組數(shù)據(jù)求得線性回歸方程,再用剩下的2組數(shù)據(jù)進行檢驗,檢驗方法如下:先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應(yīng)的等候人數(shù),再求與實際等候人數(shù)的差,若兩組差值的絕對值均不超過1,則稱所求的回歸方程是“理想回歸方程”.
參考公式:用最小二乘法求線性回歸方程的系數(shù)公式:,
(1)若選取的是前4組數(shù)據(jù),求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)判斷(1)中的方程是否是“理想回歸方程”:
(3)為了使等候的乘客不超過38人,試用(1)中方程估計間隔時間最多可以設(shè)置為多少分鐘?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)橢圓C: =1(α>b>0)經(jīng)過點( , ),且原點、焦點,短軸的端點構(gòu)成等腰直角三角形.
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線(切線斜率存在)與橢圓C恒有兩個交點A,B.且 ?若存在,求出該圓的方程,若不存在說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠為檢驗車間一生產(chǎn)線工作是否正常,現(xiàn)從生產(chǎn)線中隨機抽取一批零件樣本,測量它們的尺寸(單位:)并繪成頻率分布直方圖,如圖所示.根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件尺寸服從正態(tài)分布,其中近似為零件樣本平均數(shù),近似為零件樣本方差.
(1)求這批零件樣本的和的值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);
(2)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,求;
(3)若從生產(chǎn)線中任取一零件,測量其尺寸為,根據(jù)原則判斷該生產(chǎn)線是否正常?
附:;若,則, ,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定圓:,動圓過點 且與圓相切,記圓心的軌跡為.
(1)求曲線的方程;
(2)已知直線 交圓于兩點.是曲線上兩點,若四邊形的對角線,求四邊形面積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某地隨著經(jīng)濟的發(fā)展,居民收入逐年增長,如表是該地一建設(shè)銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額),如表1
年份x | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 |
儲蓄存款y(千億元) | 5 | 6 | 7 | 8 | 10 |
為了研究計算的方便,工作人員將上表的數(shù)據(jù)進行了處理,得到表2:
時間代號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
z | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程;
(2)通過(1)中的方程,求出y關(guān)于x的回歸方程;
(3)用所求回歸方程預(yù)測到2010年年底,該地儲蓄存款額可達多少?
附:對于線性回歸方程,
其中, .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某書店剛剛上市了《中國古代數(shù)學(xué)史》,銷售前該書店擬定了5種單價進行試銷,每種單價(元)試銷l天,得到如表單價(元)與銷量(冊)數(shù)據(jù):
單價(元) | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 |
銷量(冊) | 61 | 56 | 50 | 48 | 45 |
(l)根據(jù)表中數(shù)據(jù),請建立關(guān)于的回歸直線方程:
(2)預(yù)計今后的銷售中,銷量(冊)與單價(元)服從(l)中的回歸方程,已知每冊書的成本是12元,書店為了獲得最大利潤,該冊書的單價應(yīng)定為多少元?
附:,,,.
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