Question

4．函數(shù)f（x）=（x-a）²（x+b）e^x（a，b∈R）．
（1）當(dāng)a=0，b=-3時．求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x=a是f（x）的極大值點．
（i）當(dāng)a=0時，求b的取值范圍；
（ii）當(dāng)a為定值時．設(shè)x₁，x₂，x₃（其中x₁＜x₂＜x₃））是f（x）的3個極值點，問：是否存在實數(shù)b，可找到實數(shù)x₄，使得x₄，x₁，x₂，x₃成等差數(shù)列？若存在求出b的值及相應(yīng)的x₄，若不存在．說明理由．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）（i）函數(shù)g（x）=x²+（b+3）x+2b，結(jié)合x=a是f（x）的一個極大值點，我們分析函數(shù)g（x）=x²+（b+3）x+2b的兩個零點與0的關(guān)系，即可確定b的取值范圍；
（ii）由函數(shù)f（x）=（x-a）²（x+b）e^x，我們易求出f'（x）的解析式，由（I）可得x₁、a、x₂是f（x）的三個極值點，求出x₁，x₂，分別討論x₁、a、x₂是x₁，x₂，x₃，x₄的某種排列構(gòu)造等差數(shù)列時其中三項，即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）a=0，b=-3時：
f（x）=x²（x-3）²e^x，
f′（x）=e^xx（x-3）（x-2）（+3），
令f′（x）＞0，解得：x＜-3或0＜x＜2或x＞3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜0或2＜x＜3，
∴f（x）在（-∞，-3），（0，2），（3，+∞）遞增，在（-3，0），（2，3）遞減；
（2）（i）解：a=0時，f（x）=x²（x+b）e^x，∴f'（x）=[x²（x+b）]′e^x+x²（x+b）（e^x）′=e^xx[x²+（b+3）x+2b]，
令g（x）=x²+（b+3）x+2b，∵△=（b+3）²-8b=（b-1）²+8＞0，∴設(shè)x₁＜x₂是g（x）=0的兩個根，
①當(dāng)x₁=0或x₂=0時，則x=0不是極值點，不合題意；
②當(dāng)x₁≠0且x₂≠0時，由于x=0是f（x）的極大值點，故x₁＜0＜x₂．∴g（0）＜0，即2b＜0，∴b＜0．
（ii）解：f'（x）=e^x（x-a）[x²+（3-a+b）x+2b-ab-a]，
令g（x）=x²+（3-a+b）x+2b-ab-a，則△=（3-a+b）²-4（2b-ab-a）=（a+b-1）²+8＞0，
于是，假設(shè)x₁，x₂是g（x）=0的兩個實根，且x₁＜x₂．
由（i）可知，必有x₁＜a＜x₂，且x₁、a、x₂是f（x）的三個極值點，
則x₁=$\frac{（a-b-3）-\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}}{2}$，x₂=$\frac{（a-b-3）+\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}}{2}$，
假設(shè)存在b及x₄滿足題意，
①當(dāng)x₁，a，x₂等差時，即x₂-a=a-x₁時，
則x₄=2x₂-a或x₄=2x₁-a，
于是2a=x₁+x₂=a-b-3，即b=-a-3．
此時x₄=2x₂-a=a-b-3+$\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}$-a=a+2$\sqrt{6}$或x₄=2x₁-a=a-b-3-$\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}$-a=a-2$\sqrt{6}$，
②當(dāng)x₂-a≠a-x₁時，則x₂-a=2（a-x₁）或（a-x₁）=2（x₂-a）
若x₂-a=2（a-x₁），則x4=$\frac{a{+x}_{2}}{2}$，
于是3a=2x1+x2=$\frac{3（a-b-3）-\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}}{2}$，
即$\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}$=-3（a+b+3）．
兩邊平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＜0，于是a+b-1=$\frac{-9-\sqrt{13}}{2}$
此時b=-a-$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$，
此時x4=$\frac{a{+x}_{2}}{2}$=$\frac{2a+（a-b-3）-3（a+b+3）}{4}$=-b-3=a+$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$．
②若（a-x₁）=2（x₂-a），則x4=$\frac{a{+x}_{1}}{2}$，
于是3a=2x2+x1=$\frac{3（a-b-3）+\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}}{2}$，
即 $\sqrt{{（a+b-1）}^{2}+8}$=3（a+b+3）
兩邊平方得（a+b-1）²+9（a+b-1）+17=0，∵a+b+3＞0，于是a+b-1=$\frac{-9+\sqrt{13}}{2}$，
此時b=-a-$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$，此時x₄=$\frac{a{+x}_{1}}{2}$$\frac{2a+（a-b-3）-3（a+b+3）}{4}$═-b-3=a+$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$，
綜上所述，存在b滿足題意，
當(dāng)b=-a-3時，x₄=a±2$\sqrt{6}$，
b=-a-$\frac{7+\sqrt{13}}{2}$時，x₄=a+$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，
b=-a-$\frac{7-\sqrt{13}}{2}$時，x₄=a+$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$．

點評 本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識．