Question

已知橢圓G：＋y2＝1.過(guò)軸上的動(dòng)點(diǎn)(m,0)作圓x2＋y2＝1的切線(xiàn)l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)．

（1）求橢圓G上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離;

（2）①當(dāng)實(shí)數(shù)時(shí),求A，B兩點(diǎn)坐標(biāo);

②將|AB|表示為m的函數(shù)，并求|AB|的最大值．

 

Answer 1

（1）；（2）①當(dāng)時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為；② 2

【解析】

試題分析：（1）設(shè)出與直線(xiàn)平行的直線(xiàn)，并與橢圓方程聯(lián)立消去（或）得關(guān)于的一元二次方程，令判別式為0解得的值（應(yīng)為2個(gè)值）。此時(shí)直線(xiàn)與橢圓相切，分析可知取負(fù)值時(shí)兩直線(xiàn)距離最大，此距離即為橢圓上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離。（2）①當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)的方程為，代入橢圓方程可得坐標(biāo)。②分析可知，由①可知當(dāng)時(shí)。當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)斜率存在設(shè)切線(xiàn)方程為，根據(jù)切線(xiàn)與圓相切即圓心到直線(xiàn)的距離等于半徑可得與間的關(guān)系式。再將切線(xiàn)方程與橢圓方程聯(lián)立消去（或）得關(guān)于的一元二次方程，可知判別式應(yīng)大于0且可得根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得，根據(jù)與間的關(guān)系式可消去一個(gè)量，可用基本不等式求最值。

（1）設(shè)直線(xiàn)，帶入橢圓方程得，

得，（4分）

由圖形得直線(xiàn)與直線(xiàn)的距離為橢圓G上的點(diǎn)到直線(xiàn)的最大距離為（6分）

（2）①由題意知，.

當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，此時(shí).（8分）

當(dāng)時(shí)，同理可得.（9分）

②當(dāng)|m|＞1時(shí)，設(shè)切線(xiàn)的方程為．

由得.（10分）

設(shè)兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則

.

又由與圓相切，得，即.（11分）

所以.（12分）

由于當(dāng)時(shí)，，所以，．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720013700092396/SYS201411172001463450221917_DA/SYS201411172001463450221917_DA.044.png">，（13分）

且當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為2.

考點(diǎn)：1直線(xiàn)與圓相切；2兩線(xiàn)平行時(shí)直線(xiàn)的設(shè)法；3直線(xiàn)和橢圓的位置關(guān)系。