Question

【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）。

（Ⅰ）若在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求證：當時，不等式。

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；

【解析】試題分析：（1）首先利用切線的斜率建立方程，求出；利用導數(shù)求得函數(shù)的極值點，極值點介于之間，由此求得的取值范圍；（2）先用分析法，將原不等式等價變形為，利用導數(shù)求出左邊函數(shù)的最小值和右邊函數(shù)的最大值即可證得原不等式成立.

試題解析：

（1） 因為，所以

又據(jù)題意，得，所以，所以

所以，

所以

當時，，為增函數(shù)；

當時，，為減函數(shù).

所以函數(shù)僅當時，取得極值

又函數(shù)在區(qū)間上存在極值，所以，所以.

故實數(shù)的取值范圍是

（2）當時，，即為.

令，則.

再令，則.

又因為，所以.

所以在上是增函數(shù).

又因為.

所以當時，.

所以在區(qū)間上是增函數(shù).

所以當時，，又，故

令，則.

因為，所以.

所以當時，.故函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù).

又，

所以當時，，

所以，即.