【題目】以邊長為的正三角形的頂點為坐標原點，另外兩個頂點在拋物線上，過拋物線的焦點的直線過交拋物線于兩點.

（1）求拋物線的方程；

（2）求證： 為定值；

（3）求線段的中點的軌跡方程.

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合幾何關(guān)系列方程組可求得，則拋物線的方程為.

(2)聯(lián)立直線與拋物線的方程，利用韋達定理結(jié)合平面向量數(shù)量積的坐標運算計算可得為定值；

(3) 設(shè)線段的中點為，則 消去參數(shù)可得中點的軌跡方程為.

試題解析：

（1）因為正三角形和拋物線都是軸對稱圖形，且三角形的一個頂點扣拋物線的頂點重合，所以，三角形的頂點關(guān)于軸對稱，如圖所示.

由可得，

∵，∴.

∴拋物線的方程為.

（2）易知拋物線： 的焦點，設(shè)直線，并設(shè)點.

由可得，∴

∴，

∵，∴ .

（3）設(shè)線段的中點為，

則

消去得線段的中點為的軌跡方程為.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù) .若曲線在點處的切線方程為（為自然對數(shù)的底數(shù)）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若關(guān)于的不等式在（0，+）上恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）。

（Ⅰ）若在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）求證：當時，不等式。

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（Ⅱ）已知點A（0，1）和直線l：y=x+m，線段AB是橢圓E的一條弦且直線l垂直平分弦AB，求實數(shù)m的值．

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【題目】已知甲、乙兩車由同一起點同時出發(fā)，并沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為V甲和V乙（如圖所示）．那么對于圖中給定的t0和t1 ， 下列判斷中一定正確的是（ ）
A.在t1時刻，甲車在乙車前面
B.t1時刻后，甲車在乙車后面
C.在t0時刻，兩車的位置相同
D.t0時刻后，乙車在甲車前面

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx﹣x，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．

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【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣3． （Ⅰ）求函數(shù)f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：對一切x∈（0，+∞），都有l(wèi)nx＞ ﹣ 成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)產(chǎn)品x件的總成本C（x）=1000+x2（萬元），已知產(chǎn)品單價P（萬元）與產(chǎn)品件數(shù)x滿足：P2= ，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價為50萬元．
（1）設(shè)產(chǎn)量為x件時，總利潤為L（x）（萬元），求L（x）的解析式；
（2）產(chǎn)量x定為多少時總利潤L（x）（萬元）最大？并求最大值．

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【題目】已知A、B、C為三個銳角，且A+B+C=π，若向量 =（2sinA﹣2，cosA+sinA）與向量 =（cosA﹣sinA，1+sinA）是共線向量． （Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）求函數(shù)y=2sin2B+cos 的最大值．

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