Question

9．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)M，N是橢圓C上的兩點(diǎn)，且四邊形POMN是平行四邊形，求點(diǎn)M，N的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）由點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓上，P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，列出方程組求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）由題意設(shè)直線AB：y=$\frac{3}{2}x+m$，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：3x²+3mx+m²-3=0，由此利用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、平行四邊形性質(zhì)，結(jié)合已知條件能求出M、N的坐標(biāo)．

解答 解：（1）∵點(diǎn)P（1，$\frac{3}{2}$）在橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$$+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）上，P到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4^{2}}=1}\\{2a=4}\end{array}\right.$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由題意設(shè)直線MN：y=$\frac{3}{2}x+m$，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{3}{2}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消去y，得：3x²+3mx+m²-3=0，
△＞0，${x}_{1}+{x}_{2}=-m，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{{m}^{2}-3}{3}$，
∵四邊形POMN是平行四邊形，
∴|MN|=$\sqrt{\frac{13}{4}（{m}^{2}-\frac{4{m}^{2}-12}{3}）}$=$\sqrt{（1-0）^{2}+（\frac{3}{2}-0）^{2}}$，解得m=±3，
當(dāng)m=3時(shí)，解方程：3x²+9x+6=0，得M（-1，$\frac{3}{2}$），N（-2，0）；
當(dāng)m=-3時(shí)，解方程：3x²-9x+6=0，得M（1，$\frac{9}{2}$），N（2，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查利橢圓上的滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式、平行四邊形性質(zhì)的合理運(yùn)用．