Question

17．直線y=2x+m與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$）．

Answer 1

分析 直線與橢圓聯(lián)立，消去y后得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由直線與橢圓有一兩個(gè)交點(diǎn)，利用根的判別式能求出m的取值范圍．

解答 解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，消去y，
得：40x²+36mx+9m²-36=0，
∵直線y=2x+m與橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1有兩個(gè)公共點(diǎn)，
∴△=（36m）²-4×40×（9m²-36）＞0，
解得-2$\sqrt{10}＜m＜2\sqrt{10}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$）．
故答案為：（-2$\sqrt{10}$，2$\sqrt{10}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意根的判別式的合理運(yùn)用．