Question

17．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是棱AB、BC的中點(diǎn)，則平面A₁DE與平面C₁DF所成二面角的余弦值為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面A₁DE與平面C₁DF所成二面角的余弦值．

解答 解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長為2，
則A₁（2，0，2），D（0，0，0），E（2，1，0），C₁（0，2，2），F(xiàn)（1，2，0），
$\overrightarrow{D{A}_{1}}$=（2，0，2），$\overrightarrow{DE}$=（2，1，0），$\overrightarrow{D{C}_{1}}$=（0，2，2），$\overrightarrow{DF}$=（1，2，0），
設(shè)平面DA₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{D{A}_{1}}=2x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DE}=2x+y=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-2，-1），
設(shè)平面DC₁F的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C}_{1}}=2b+2c=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DF}=a+2b=0}\end{array}\right.$，取a=2，得$\overrightarrow{m}$=（2，-1，1），
設(shè)平面A₁DE與平面C₁DF所成二面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}$=$\frac{1}{2}$，
∴平面A₁DE與平面C₁DF所成二面角的余弦值為$\frac{1}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．