Question

已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的離心率為，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，M、N兩點(diǎn)在橢圓C上，且（λ＞0）定點(diǎn)A（-4，0）
（I）求證：當(dāng)λ=1時(shí)，有；
（Ⅱ）若λ=1時(shí)，有，求橢圓C的方程．
（Ⅲ）在（Ⅱ）確定的橢圓C上，當(dāng)×tan∠MAN的值為6時(shí)，求直線MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0）通過λ=1時(shí)，=，M、N兩點(diǎn)在橢圓上，求出x1=x2，然后通過數(shù)量積證明．
（II）當(dāng)λ=1時(shí)，不妨設(shè)M（c，），N（c，-），通過λ=1時(shí)，有•，求出a，b，得到橢圓的方程．
（III）由×tan∠MAN=2S_△AMN=|AF||y₁-y₂|，分別討論當(dāng)直線MN與x軸垂直時(shí)和當(dāng)直線MN與x軸不垂直時(shí)，滿足條件的MN的方程，綜合討論結(jié)果可得答案．
解答：證明：（I）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），F(xiàn)（c，0）
則=（c-x₁，-y₁），=（x₂-c，y₂），
當(dāng)λ=1時(shí)，=
∴c-x₁=x₂-c且-y₁=y₂
∴x₁+x₂=2c且-y₁=y₂
∵M(jìn)、N兩點(diǎn)在橢圓C上，
∴，
故，即|x₁|=|x₂|，由x₁+x₂=2c可得x₁=x₂=c
∴=（0，2y₂），=（c+4，0）
∴•=0
∴；
解：（Ⅱ）當(dāng)λ=1時(shí)，不妨設(shè)M（c，），N（c，-），
•=（c+4）²-=，
因?yàn)閍²=，b2=c2，
∴c2+8c+16=，
∴c=2，a²=6，b²=2，
故橢圓的方程為．
（III）×tan∠MAN=•sin∠MAN=2S_△AMN=|AF||y₁-y₂|
當(dāng)直線MN與x軸垂直時(shí)，|y₁-y₂|=，
|AF||y₁-y₂|=6×=4不滿足條件
當(dāng)直線MN與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-2），（k≠0）
由得（1+3k²）y²+4ky-2k²=0
∴|y₁-y₂|=
∴6×=6
即k⁴-2k²+1=0
∴k²=1，解得k=±1
故直線MN的方程為：y=±（x-2）
即x-y-2=0或x+y-2=0
點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，向量在幾何中的應(yīng)用，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查函數(shù)與方程的思想，計(jì)算能力．