Question

6．如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，△ABC為正三角形，AA₁=AB=6，點D為AC的中點．
（1）求證：平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁；
（2）求三棱錐C-BC₁D的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導(dǎo)出AA₁⊥BD，BD⊥AC，從而BD⊥平面ACC₁A₁，由此能證明平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁．
（Ⅱ）三棱錐C-BC₁D的體積${V_{C-B{C_1}D}}={V_{{C_1}-CBD}$，由此能求出結(jié)果．

解答 證明：（Ⅰ）因為AA₁⊥底面ABC，所以AA₁⊥BD，
因為底面ABC正三角形，D是AC的中點，所以BD⊥AC，
因為AA₁∩AC=A，所以BD⊥平面ACC₁A₁，
因為平面BD?平面BC₁D，
所以平面BC₁D⊥平面ACC₁A₁．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知△ABC中，BD⊥AC，$BD=BCsin60°=3\sqrt{3}$
所以${S_{△BCD}}=\frac{1}{2}×3×3\sqrt{3}=\frac{{9\sqrt{3}}}{2}$
所以三棱錐C-BC₁D的體積．${V_{C-B{C_1}D}}={V_{{C_1}-CBD}}=\frac{1}{3}×\frac{{9\sqrt{3}}}{2}×6=9\sqrt{3}$

點評 本題考查面面垂直的證明，考查三棱錐的體積的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的合理運用．