Question

2．已知a，b，c是△ABC的三邊，若滿足a²+b²=c²，即${（\frac{a}{c}）^2}+{（\frac{c}）^2}=1$，△ABC為直角三角形，類比此結(jié)論：若滿足aⁿ+bⁿ=cⁿ（n∈N，n≥3）時，△ABC的形狀為銳角三角形．（填“銳角三角形”，“直角三角形”或“鈍角三角形”）．

Answer 1

分析 由已知的等式cⁿ=aⁿ+bⁿ，得到c為三角形的最大邊，利用不等式的性質(zhì)及作差的方法判斷得到a²+b²＞c²，然后利用余弦定理表示出cosC，由得到的a²+b²＞c²，判斷出cosC大于0，即C為銳角，根據(jù)三角形邊角關(guān)系：大邊對大角，得到三角形三內(nèi)角都為銳角，從而得到三角形為銳角三角形．

解答 解：∵cⁿ=aⁿ+bⁿ，
∴c＞a，c＞b，即c為最大邊，
∴c^n-2＞a^n-2，c^n-2＞b^n-2，
即c^n-2-a^n-2＞0，c^n-2-b^n-2＞0，
∴（a²+b²）c^n-2-cⁿ=（a²+b²）c^n-2-aⁿ-bⁿ=a²（c^n-2-a^n-2）+b²（c^n-2-b^n-2）＞0，
即（a²+b²）c^n-2＞cⁿ，
∴a²+b²＞c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＞0，
則△ABC也是銳角三角形，
故答案為：銳角三角形．

點評 此題考查了三角形形狀的判斷，涉及的知識有三角形的邊角關(guān)系，不等式的基本性質(zhì)，余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及余弦定理，其中利用作差法判斷出a²+b²＞c²是解本題的關(guān)鍵．