Question

11．已知函數(shù)f（x）=x-ae^x；
（1）若函數(shù)g（x）=f（x）+f′（x）在點（0，g（0））處的切線方程為x+y+1=0，求實數(shù)a的值；
（2）當a＞0時，函數(shù)f（x）存在兩個零點x₁，x₂，且x₁＜x₂，求證：lnx₁-lnx₂＜lna+1．

Answer 1

分析 （1）求得f（x）的導數(shù)，可得g（x）的解析式，由切線的方程可得切線的斜率和切點，解方程可得a=1；
（2）求得f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值、最值，由題意可令最大值大于0，可得ae＜1，可得x₁＜1＜ln$\frac{1}{a}$＜x₂，即有x₂-x₁＞ln$\frac{1}{a}$-1，再由零點的定義，結合不等式的性質和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得證．

解答 解：（1）f′（x）=1-ae^x，
∴g（x）=f（x）+f′（x）=x-2ae^x+1，
由切線的方程x+y+1=0，可得
g（0）=1-2a=-1，
∴a=1．
（2）證明：當a＞0時，f′（x）=1-ae^x，
由f′（x）＞0，可得x＜-lna；由f′（x）＜0，可得x＞-lna．
f（x）在（-∞，-lna）上單調(diào)遞增，在（-lna，+∞）單調(diào)遞減，
即有f（x）在x=-lna處取得極大值，且為最大值f（-lna）=-lna-1．
由題意可知有兩個零點，則f（-lna）=-lna-1＞0，即ae＜1，
又∵f（1）=1-ae＞0，
∴x₁＜1＜ln$\frac{1}{a}$＜x₂，
∴x₂-x₁＞ln$\frac{1}{a}$-1，
又∵x₁=a${e}^{{x}_{1}}$，x₂=a${e}^{{x}_{2}}$，
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$=$\frac{a{e}^{{x}_{1}}}{a{e}^{{x}_{2}}}$=${e}^{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜${e}^{（1-ln\frac{1}{a}）}$=e^lnae=ae，
∴l(xiāng)nx₁-lnx₂＜lna+1．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查不等式的證明，注意運用函數(shù)的零點和不等式的性質，考查化簡整理的運算能力和推理能力，屬于中檔題．