【題目】已知a∈R,f(x)=aln(x﹣1)+x,f′(2)=2
(1)求a的值,并求曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程y=g(x);
(2)設(shè)h(x)=mf′(x)+g(x)+1,若對(duì)任意的x∈[2,4],h(x)>0,求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】
(1)解:f(x)=aln(x﹣1)+x,
導(dǎo)數(shù)f′(x)= +1,
則f′(2)=a+1=2,
解得a=1,f(x)=ln(x﹣1)+1,
f′(x)= +1,
可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線斜率為1+1=2,
f(2)=ln1+1=1,
可得曲線y=f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程為y﹣1=x﹣2,
即為g(x)=x﹣1
(2)解:h(x)=mf′(x)+g(x)+1=m( +1)+x,
對(duì)任意的x∈[2,4],h(x)>0,
即為m( +1)+x>0,x∈[2,4],
即有m +x>0,
即為m>(1﹣x)max,x∈[2,4],
由1﹣x≤1﹣2=﹣1,可得m>﹣1.
則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(﹣1,+∞)
【解析】(1)求得f(x)的導(dǎo)數(shù),由題意解得a=1,求出曲線y=f(x)在x=2處的切線的斜率和f(2),由點(diǎn)斜式方程可得切線方程;(2)由題意可得m( +1)+x>0,x∈[2,4],即為m>(1﹣x)max , x∈[2,4],由一次函數(shù)的單調(diào)性,可得最大值,即可得到m的范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=4sinxcos(x+ )+m(x∈R,m為常數(shù)),其最大值為2. (Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ)若f(α)=﹣ (﹣ <α<0),求cos2α的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】二手車(chē)經(jīng)銷(xiāo)商小王對(duì)其所經(jīng)營(yíng)的某一型號(hào)二手汽車(chē)的使用年數(shù)x(0<x≤10)與銷(xiāo)售價(jià)格y(單位:萬(wàn)元/輛)進(jìn)行整理,得到如下的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù):
使用年數(shù) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
售價(jià) | 16 | 13 | 9.5 | 7 | 4.5 |
參考公式: , .
(1)若這兩個(gè)變量呈線性相關(guān)關(guān)系,試求y關(guān)于x的回歸直線方程 ;
(2)已知小王只收購(gòu)使用年限不超過(guò)10年的二手車(chē),且每輛該型號(hào)汽車(chē)的收購(gòu)價(jià)格為ω=0.03x2﹣1.81x+16.2萬(wàn)元,根據(jù)(1)中所求的回歸方程,預(yù)測(cè)x為何值時(shí),小王銷(xiāo)售一輛該型號(hào)汽車(chē)所獲得的利潤(rùn)L(x)最大? (銷(xiāo)售一輛該型號(hào)汽車(chē)的利潤(rùn)=銷(xiāo)售價(jià)格﹣收購(gòu)價(jià)格)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于函數(shù)f(x)= ,有下列5個(gè)結(jié)論: ①任取x1 , x2∈[0,+∞),都有|f(x1)﹣f(x2)|≤2;
②函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[4,5]上單調(diào)遞增;
③f(x)=2kf(x+2k)(k∈N+),對(duì)一切x∈[0,+∞)恒成立;
④函數(shù)y=f(x)﹣ln(x﹣1)有3個(gè)零點(diǎn);
⑤若關(guān)于x的方程f(x)=m(m<0)有且只有兩個(gè)不同實(shí)根x1 , x2 , 則x1+x2=3.
則其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 . (請(qǐng)寫(xiě)出全部正確結(jié)論的序號(hào))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a,b,c,且A、B、C成等差數(shù)列
(1)若 ,求△ABC的面積
(2)若sinA、sinB、sinC成等比數(shù)列,試判斷△ABC的形狀.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知平面向量 =(1,x), =(2x+3,﹣x)(x∈R).
(1)若 ∥ ,求| ﹣ |
(2)若 與 夾角為銳角,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣(a+1)x+b.
(1)若f(x)<0的解集為(﹣1,3),求a,b的值;
(2)當(dāng)a=1時(shí),若對(duì)任意x∈R,f(x)≥0恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍;
(3)當(dāng)b=a時(shí),解關(guān)于x的不等式f(x)<0(結(jié)果用a表示).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中,已知圓C的方程:x2+y2﹣2x﹣4y+4=0,點(diǎn)P是直線l:x﹣2y﹣2=0上的任意點(diǎn),過(guò)P作圓的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)為A、B,當(dāng)∠APB取最大值時(shí).
(Ⅰ)求點(diǎn)P的坐標(biāo)及過(guò)點(diǎn)P的切線方程;
(Ⅱ)在△APB的外接圓上是否存在這樣的點(diǎn)Q,使|OQ|= (O為坐標(biāo)原點(diǎn)),如果存在,求出Q點(diǎn)的坐標(biāo),如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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