Question

12．已知兩向量$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$滿足|$\overrightarrow{a}$|=4，|$\overrightarrow$|=2，且（$\overrightarrow{a}$+2$\overrightarrow$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$）=12，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)$|\overrightarrow{a}|=4，|\overrightarrow|=2$，進(jìn)行數(shù)量積的運算，便可由$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）=12$求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞$的值，進(jìn)而求出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$的夾角．

解答 解：根據(jù)條件：
$（\overrightarrow{a}+2\overrightarrow）•（\overrightarrow{a}+\overrightarrow）={\overrightarrow{a}}^{2}+2{\overrightarrow}^{2}+3\overrightarrow{a}•\overrightarrow$=$16+8+24cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=12$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞=-\frac{1}{2}$；
又$0≤＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞≤π$；
∴$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$．
故答案為：$\frac{2π}{3}$．

點評 本題考查數(shù)量積的運算及計算公式，向量夾角的范圍，已知三角函數(shù)值求角．