Question

17．記max{m，n}表示m，n中的最大值，如max$\left\{{3，\sqrt{10}}\right\}=\sqrt{10}$．已知函數(shù)f（x）=max{x²-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，-x²+（a²-$\frac{1}{2}$）x+2a²+4a}．
（1）設(shè)$h（x）=f（x）-3（{x-\frac{1}{2}}）{（{x-1}）^2}$，求函數(shù)h（x）在（0，1]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)a∈（-2，+∞），使得g（x）＜$\frac{3}{2}$x+4a對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立？若存在，求a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）利用導(dǎo)數(shù)求出$h（x）=f（x）-3（{x-\frac{1}{2}}）{（{x-1}）^2}$的單調(diào)區(qū)間及最值，結(jié)合圖象即可判定；
（2）構(gòu)造函數(shù)H（x）=g（x）-$\frac{3}{2}$x-4a，對(duì)該函數(shù)在∈（a+2，+∞）的最大值進(jìn)行分類(lèi)求解，只需最大值小于0即可．

解答 解：（1）設(shè)$F（x）={x^2}-1-2lnx，F(xiàn)'（x）=2x-\frac{2}{x}=\frac{{2（{x-1}）（{x+1}）}}{x}$，…（1分）
令F'（x）＞0，得x＞1，F(xiàn)（x）遞增；令F'（x）＜0，得0＜x＜1，F(xiàn)（x）遞減，…（2分）
∴F（x）_min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x²-1≥2lnx，∴f（x）=x²-1…（3分）
設(shè)$G（x）=3（{x-\frac{1}{2}}）{（{x-1}）^2}$，結(jié)合f（x）與G（x）在（0，1]上圖象可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖象在（0，1]上有兩個(gè)交點(diǎn)，即h（x）在（0，1]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2…（5分）
（或由方程f（x）=G（x）在（0，1]上有兩根可得）
（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a∈（-2，+∞），使得$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立，
則$\left\{{\begin{array}{l}{x+lnx＜\frac{3}{2}x+4a}\\{-{x^2}+（{{a^2}-\frac{1}{2}}）x+2{a^2}+4a＜\frac{3}{2}x+4a}\end{array}}\right.$，對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立，
即$\left\{{\begin{array}{l}{lnx-\frac{1}{2}x＜4a}\\{（{x+2}）（{x-{a^2}}）＞0}\end{array}}\right.$，對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立，…（6分）
①設(shè)$H（x）=lnx-\frac{1}{2}x，H'（x）=\frac{1}{x}-\frac{1}{2}=\frac{2-x}{2x}$，
令H'（x）＞0，得0＜x＜2，H（x）遞增；令H'（x）＜0，得x＞2，H（x）遞減，
∴H（x）_max=h（2）=ln2-1，
當(dāng)0＜a+2＜2即-2＜a＜0時(shí)，4a＞ln2-1，∴$a＞\frac{ln2-1}{4}$，∵a＜0，∴4$a∈（{\frac{ln2-1}{4}，0}）$．
故當(dāng)$a∈（{\frac{ln2-1}{4}，0}）$時(shí)，$lnx-\frac{1}{2}x＜4a$對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立，…（8分）
當(dāng)a+2≥2即a≥0時(shí)，H（x）在（a+2，+∞）上遞減，∴$H（x）＜H（{a+2}）=ln（{a+2}）-\frac{1}{2}a-1$．
∵${（{ln（{a+2}）-\frac{1}{2}a-1}）^′}=\frac{1}{a+2}-\frac{1}{2}≤0$，∴H（a+2）≤H（0）=ln2-1＜0，
故當(dāng)a≥0時(shí)，$lnx-\frac{1}{2}x＜4a$對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立…（10分）
②若（x+2）（x-a²）＞0對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立，則a+2≥a²，∴a∈[-1，2]…（11分）
由①及②得，$a∈（{\frac{ln2-1}{4}，2}]$．
故存在實(shí)數(shù)a∈（-2，+∞），使得$g（x）＜\frac{3}{2}x+4a$對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立，
且a的取值范圍為$（{\frac{ln2-1}{4}，2}]$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)判定，及函數(shù)不等式恒成立時(shí)，參數(shù)取值范圍的求解方法，屬于難題．