Question

已知a，b為正實(shí)數(shù)．
（1）若函數(shù)f(x)=

lnx

x

，求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）若e＜a＜b（e為自然對(duì)數(shù)的底），求證：a^b＞b^a．

Answer 1

分析：（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減；
（2）根據(jù)第一問(wèn)的單調(diào)性可知若e＜a＜b，f（a）＞f（b），可得：

lna

a

＞

lnb

b

，化簡(jiǎn)變形，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可證得a^b＞b^a．

解答：解：（1）∵f(x)=

lnx

x

，則f′(x)=

1-lnx

x2

，
當(dāng)0＜x＜e時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)x＞e時(shí)，f′（x）＜0．
∴當(dāng)x∈（0，e）時(shí)，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（e，+∞）時(shí)，f（x）為減函數(shù)．
（2）由上知，若e＜a＜b，f（a）＞f（b），得：

lna

a

＞

lnb

b

，
∴blna＞alnb，
即lna^b＞lnb^a，
∴a^b＞b^a；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減，以及不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查了分析與解決問(wèn)題的綜合能力．