Question

如圖，在四面體P-ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，且AC=BC=4，PA=4

2

．
（I）證明：平面PAC⊥平面PBC；
（Ⅱ）求直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面所成的角,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由已知得AC⊥BC，PA⊥BC，從而B(niǎo)C⊥平面ABC，由此能證明平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PC，交PC于點(diǎn)D，由BC⊥平面PAC，得AD⊥平面PBC，從而∠APD是直線PA與平面PBC所成的角，由此能求出直線PA與平面PBC所成角的正弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵△ABC是等腰三角形，AC=BC，∠ACB=90°，
∴AC⊥BC，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面ABC，
∵BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥PC，交PC于點(diǎn)D，
由（Ⅰ）知BC⊥平面PAC，
∴BC⊥AD，∴AD⊥平面PBC，
∴∠APD是直線PA與平面PBC所成的角，
在Rt△PAC中，PA=4

2

，AC=4，PC=4

3

，
∴sin∠APD=

AC

PC

=

3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要注意空間思維能力的培養(yǎng)．