Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+a²x+2b-a³，當(dāng)x∈（-2，6）時(shí)，其值為正，而當(dāng)x∈（-∞，-2）∪（6，+∞）時(shí)，其值為負(fù)．
（I）求實(shí)數(shù)a，b的值及函數(shù)f（x）的解析式；
（II）設(shè)F（x）=-

k

4

f（x）+4x+12k，問k取何值時(shí)，方程F（x）=0有正根？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知-2，6為方程f（x）=0的兩根，由韋達(dá)定理可求a，b值；
（Ⅱ）把F（x）=0表示出來，根據(jù)二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求出根，利用根大于0這一條件可求k范圍．

解答：解：（Ⅰ）由題意可知-2和6是方程f（x）=0的兩根，
∴

-a=-2+6=4 2b-a3 a =-2×6=-12

，解得

a=-4 b=-8

．
∴此時(shí)a=-4，b=-8．
f（x）=-4x²+16x+48．
（Ⅱ）F（x）=-

k

4

（-4x²+16x+48）+4x+12k=kx²+4（1-k）x，
當(dāng)k=0時(shí)，F(xiàn)（x）=4x，不合題意；
當(dāng)k≠0時(shí)，F(xiàn)（x）=0的一根為

4(k-1)

k

，
則有k（k-1）＞0，解得k＞1或k＜0．
故當(dāng)k＞1或k＜0時(shí)，方程F（x）=0有正根．

點(diǎn)評：本題考查二次函數(shù)解析式的求法及韋達(dá)定理，屬基礎(chǔ)題，難度不大．