Question

已知橢圓和橢圓的離心率相同，且點在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點，過點作直線交橢圓于、兩點，且恰為弦的中點。求證：無論點怎樣變化，的面積為常數(shù)，并求出此常數(shù).

 

Answer 1

（1）橢圓的方程為；（2）的面積為常數(shù)．

【解析】

試題分析：（1）由題知，且，解這個方程組求得即可得橢圓的方程；（2）涉及直線與曲線的關(guān)系的問題，多是將直線方程與曲線方程聯(lián)立再用韋達定理解決.此題中有兩個橢圓，將哪個橢圓的方程與直線方程聯(lián)立？此題意即直線與的交點的中點在上，故應將直線方程與的方程聯(lián)立由韋達定理得中點坐標，再將中點坐標代入的方程.然后求出三角形OAB的面積的表達式，再利用前面所得關(guān)系式化為一常數(shù)即可.

試題解析：（1）由題知，且 即，橢圓的方程為； 4分

（2）當直線的斜率不存在時，必有，此時， 5分

當直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為、點，則

與橢圓聯(lián)立，得，設(shè)，

則 即 8分

又 9分

綜上，無論怎樣變化，的面積為常數(shù)． 12分

考點：1、橢圓的方程；2、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.