Question

9．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1（m＞0，n＞0）有相同焦點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)在x軸上的射影為其中一個(gè)焦點(diǎn)，若它們的離心率分別為e₁，e₂，則e₁•e₂=1．

Answer 1

分析 設(shè)F（c，0），把F分別代入橢圓與雙曲線方程可得：化為b²（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$）=n²（$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$-1），又c²=m²+n²=a²-b²，可得：$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{{n}^{2}}{m}$，設(shè)a=km，則b=$\sqrt{k}$n，k=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+1=$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)F（c，0），把F分別代入橢圓與雙曲線方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1
化為b²（1-$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$）=n²（$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$-1），
又c²=m²+n²=a²-b²，
可得：$\frac{^{2}}{a}$=$\frac{{n}^{2}}{m}$，
設(shè)a=km，則b=$\sqrt{k}$n，∴k=$\frac{{n}^{2}}{{m}^{2}}$+1=$\frac{{c}^{2}}{{m}^{2}}$
∴e₁•e₂=$\frac{c}{a}•\frac{c}{m}$=$\frac{{c}^{2}}{k{m}^{2}}$=1．
故答案為：1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．