Question

19．（1）已知a，b∈（0，+∞），求證：x，y∈R，有$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}$≥$\frac{{{{（x+y）}^2}}}{a+b}$；
（2）若0＜a＜2，0＜b＜2，0＜c＜2，求證：（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a不能同時(shí)大于1．

Answer 1

分析 （1）由基本不等式易得答案，注意取等條件|bx|=|ay|；
（2）假設(shè)（2-a）b，（2-b）c（2-c）a同時(shí)大于1，推出（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a＞1 ①；再由已知條件可推出（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a≤1，這與①矛盾，故假設(shè)不成立，即可得出結(jié)論．

解答 證明：（1）（$\frac{{x}^{2}}{a}$+$\frac{{y}^{2}}$）（a+b）=x²+$\frac{b{x}^{2}}{a}$+$\frac{a{y}^{2}}$+y²≥x²+2xy+y²=（x+y）²，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{b{x}^{2}}{a}$=$\frac{a{y}^{2}}$，即|bx|=|ay|時(shí)取等號(hào)，
由于a，b∈（0，+∞），所以有$\frac{x^2}{a}$+$\frac{y^2}$≥$\frac{{{{（x+y）}^2}}}{a+b}$…（6分）
（2）假設(shè)結(jié)論不成立，即（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a同時(shí)大于1．
$\left.\begin{array}{l}（2-a）b＞1\\（2-b）c＞1\\（2-c）a＞1\end{array}\right\}⇒（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a＞1$，
而（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a=（2-a）a•（2-b）b•（2-c）c
≤（$\frac{2-a+a}{2}$）²（$\frac{2-b+b}{2}$）²（$\frac{2-c+c}{2}$）²=1，
這與（2-a）b•（2-b）c•（2-c）a＞1矛盾．
所以假設(shè)錯(cuò)誤，即（2-a）b，（2-b）c，（2-c）a不能同時(shí)大于1．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的證明問題，題中涉及到基本不等式的應(yīng)用以及反證法證明不等式，題目計(jì)算量小但有一定的技巧性，而且反證思想在證明題中非常重要，同學(xué)們需要注意基本不等式的應(yīng)用，注意基本不等式運(yùn)用的條件，以及靈活運(yùn)用不等式證明的各種方法及技巧．