Question

9．已知復數(shù)z的實部和虛部都是整數(shù)，
（Ⅰ）若復數(shù)z為純虛數(shù)，且|z-1|=|-1+i|，求復數(shù)z；
（Ⅱ）若復數(shù)z滿足z+$\frac{10}{z}$是實數(shù)，且1＜z+$\frac{10}{z}$≤6，求復數(shù)z．

Answer 1

分析 （Ⅰ）復數(shù)z為純虛數(shù)，設出復數(shù)z，化簡|z-1|=|-1+i|，求出a，即可求復數(shù)z；
（Ⅱ）設z=a+bi，化簡復數(shù)z+$\frac{10}{z}$，利用復數(shù)是實數(shù)，且1＜z+$\frac{10}{z}$≤6，求解a，b，即可求復數(shù)z．

解答 解：（Ⅰ）∵z為純虛數(shù)，∴設z=ai（a∈R且a≠0），
又|-1+i|=$\sqrt{2}$，由|z-1|=|-1+i|，
得$\sqrt{{a}^{2}+1}$=$\sqrt{2}$，解得a=±1，∴z=±i．（直接寫答案z=i只給2分）…（6分）
（ II）設z=a+bi（a，b∈Z，且a²+b²≠0）．
則z+$\frac{10}{z}$=a+bi+$\frac{10}{a+bi}$=a+bi+$\frac{10（a-bi）}{{a}^{2}+^{2}}$=a+$\frac{10a}{{a}^{2}+^{2}}$+（b-$\frac{10b}{{a}^{2}+^{2}}$）i． …（8分）
由z+$\frac{10}{z}$是實數(shù)，且1＜z+$\frac{10}{z}$≤6，∴b-$\frac{10b}{{a}^{2}+^{2}}$=0，即b=0或a²+b²=10．…（10分）
又1＜a+$\frac{10a}{{a}^{2}+^{2}}$≤6，（*）
當b=0時，（*）化為1＜a+$\frac{10}{a}$≤6無解．
當a²+b²=10時，（*）化為1＜2a≤6，∴$\frac{1}{2}$＜a≤3．
由a，b∈Z，知a=1，2，3．∴相應的b=±3，±$\sqrt{6}$（舍），±1．
因此，復數(shù)z為：1±3i或3±i．   …（14分）

點評 本題考查復數(shù)的基本概念，復數(shù)的模的應用，考查計算能力．