Question

已知函數(shù)f（x）=3^x+k（k為常數(shù)），A（-2k，2）是函數(shù)y=f¹（x）圖象上的點．
（1）求實數(shù)k的值及函數(shù)y=f¹（x）的解析式：
（2）將y=f¹（x）的圖象向右平移3個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，若2f¹（x+

m

-3}）-g（x）≥1對任意的x＞0恒成立，試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：反函數(shù),函數(shù)的圖象與圖象變化

專題：函數(shù)的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）根據(jù)題意，把點A的坐標代入函數(shù)y=f（x）中，求出k的值，得f（x），從而求出y=f¹（x）；
（2）根據(jù)圖象平移，得函數(shù)y=g（x）的解析式，化簡不等式2f¹（x+

m

-3}）-g（x）≥1，利用函數(shù)的性質，結合分離常數(shù)法，即可求出關于m的不等式的解集．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=3^x+k（k為常數(shù)），
且A（-2k，2）是函數(shù)y=f¹（x）圖象上的點；
∴3²+k=-2k，
解得k=-3；
∴f（x）=3^x-3，
∴函數(shù)y=f¹（x）=log₃（x+3）；
（2）將y=f¹（x）=log₃（x+3）的圖象向右平移3個單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，
∴y=g（x）=log₃x；
∵2f¹（x+

m

-3）-g（x）≥1，
即2log₃（x+

m

-3+3）-log₃x≥1，
∴l(xiāng)og₃

(x+ m )2

x

≥1；
即

(x+ m )2

x

≥3對任意的x＞0恒成立，
∴x+

2 m +m

x

≥3，
即2

m

+m≥（3-x）x；
∵x＞0，設函數(shù)t=（3-x）x，
∴t=-x²+3x=-(x-

3

2

)2+

9

4

≤

9

4

；
∴m+2

m

≥

9

4

，
解得m≥

17

4

-

13

；
∴實數(shù)m的取值范圍[

17

4

-

13

，+∞）．

點評：本題考查了函數(shù)的性質與應用問題，也考查了利用分離常數(shù)法求函數(shù)最值的問題，考查了解不等式的問題，是綜合性題目．