10.若a>0,b>0,且a2+b2=1.
(1)求$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值;
(2)求$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$的最小值.

分析 (1)設(shè)a=sinθ,b=cosθ,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),可得原式=$\frac{\sqrt{1+sin2θ}}{\frac{1}{2}sin2θ}$,令t=$\sqrt{1+sin2θ}$,則t∈(1,$\sqrt{2}$],可得原式=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$,根據(jù)分母為增函數(shù),可得t=$\sqrt{2}$時,原式取最小值2$\sqrt{2}$,
(2)$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$=($\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$)(a2+b2)=$\frac{a}$+$\frac{a}$+$\frac{^{3}}{{a}^{3}}$+$\frac{{a}^{3}}{^{3}}$,結(jié)合基本不等式,可得答案.

解答 解:(1)∵a>0,b>0,且a2+b2=1.
∴設(shè)a=sinθ,b=cosθ,θ∈(0,$\frac{π}{2}$),
則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{1}{sinθ}$+$\frac{1}{cosθ}$=$\frac{sinθ+cosθ}{sinθcosθ}$=$\frac{\sqrt{1+sin2θ}}{\frac{1}{2}sin2θ}$,
令t=$\sqrt{1+sin2θ}$,則t∈(1,$\sqrt{2}$],
原式=$\frac{2t}{{t}^{2}-1}$=$\frac{2}{t-\frac{1}{t}}$,
故t=$\sqrt{2}$時,原式取最小值2$\sqrt{2}$,
(2)$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$=($\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$)(a2+b2)=$\frac{a}$+$\frac{a}$+$\frac{^{3}}{{a}^{3}}$+$\frac{{a}^{3}}{^{3}}$≥2+2=4,
故$\frac{{a}^{3}}$+$\frac{a}{^{3}}$的最小值為4.

點評 本題考查的知識點是基本不等式在求最值時的應(yīng)用,換元法,轉(zhuǎn)化思想,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),難度中檔.

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