Question

20．某商城舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，抽獎規(guī)則如下：
1．抽獎方案有以下兩種，方案a：從裝有2個紅球、3個白球（僅顏色不同）的甲袋中隨機摸出2個球，若都是紅球，則獲得獎金30元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回甲袋中，方案b：從裝有3個紅球、2個白球（僅顏色相同）的乙袋中隨機摸出2個球，若都是紅球，則獲得獎金15元；否則，沒有獎金，兌獎后將摸出的球放回乙袋中．
2．抽獎條件是，顧客購買商品的金額買100元，可根據(jù)方案a抽獎一次：滿150元，可根據(jù)方案b抽獎一次（例如某顧客購買商品的金額為260元，則該顧客可以根據(jù)方案a抽獎兩次或方案b抽獎一次或方案a、b各抽獎一次）．已知顧客A在該商場購買商品的金額為350元．
（1）若顧客A只選擇方案a進行抽獎，求其所獲獎金的期望值；
（2）要使所獲獎金的期望值最大，顧客A應如何抽獎．

Answer 1

分析 （1）顧客A只選擇方案a進行抽獎，則其抽獎方式為按方案a抽獎三次，滿足二項分布B（3，$\frac{1}{10}$），由此能求出顧客A只選擇方案a進行抽獎，其所獲獎金的期望值．
（2）按方案b一次抽中的概率P（B）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，假設①，顧客A按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次，此時方案a的抽法滿足二項分布B₁～（2，$\frac{1}{10}$），方案b的抽法滿足二項分布B₂～（1，$\frac{3}{10}$），設所得獎金為w₂，求出${E}_{{w}_{2}}$；假設②，顧客A按方案b抽獎兩次，此時滿足二項分布B～（2，$\frac{3}{10}$），設所得獎金為w₃，求出${E}_{{w}_{3}}$．由此能求出要使所獲獎金的期望值最大，顧客A應按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次．

解答 解：（1）顧客A只選擇方案a進行抽獎，則其抽獎方式為按方案a抽獎三次，
按方案a一次抽中的概率P（A）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$，
此時滿足二項分布B（3，$\frac{1}{10}$），
設所得獎金為w₁，則${E}_{{w}_{1}}$=$3×\frac{1}{10}×30=9$，
∴顧客A只選擇方案a進行抽獎，其所獲獎金的期望值為9元．
（2）按方案b一次抽中的概率P（B）=$\frac{{C}_{3}^{2}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{10}$，
假設①，顧客A按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次，
此時方案a的抽法滿足二項分布B₁～（2，$\frac{1}{10}$），
方案b的抽法滿足二項分布B₂～（1，$\frac{3}{10}$），
設所得獎金為w₂，則${E}_{{w}_{2}}$=$2×\frac{1}{10}×30+1×\frac{3}{10}×15$=10.5，
假設②，顧客A按方案b抽獎兩次，此時滿足二項分布B～（2，$\frac{3}{10}$），
設所得獎金為w₃，∴${E}_{{w}_{3}}$=2×$\frac{3}{10}×15$=9．
∵${E}_{{w}_{1}}={E}_{{w}_{3}}＜{E}_{{w}_{2}}$，
∴要使所獲獎金的期望值最大，顧客A應按方案a抽獎兩次，按方案b抽獎一次．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望的求法及應用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．