Question

5．已知f（x）=x²•e^x，若函數(shù)g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有三個(gè)零點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（　　）

• A． k=±2
• B． k=$\frac{8}{{e}^{2}}$
• C． k=2
• D． k=$\frac{4}{{e}^{2}}$+$\frac{{e}^{2}}{4}$

Answer 1

分析 通過函數(shù)g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有三個(gè)零點(diǎn)，則要求g（x）=0有兩個(gè)正解，設(shè)為：x₁，x₂；即要求f（x）=x₁，或f（x）=x₂；有3個(gè)解；轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=x₁的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及y=f（x）與y=x₂的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為3，結(jié)合函數(shù)f（x）=x²•e^x，的圖象推出k=x₁+x₂的值即可．

解答 解：f（x）=x²•e^x，若函數(shù)g（x）=f²（x）-kf（x）+1恰有三個(gè)零點(diǎn)，則要求g（x）=0有兩個(gè)正解，設(shè)為：x₁，x₂；即要求f（x）=x₁，或f（x）=x₂；有3個(gè)解；即要求y=f（x）與y=x₁的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及y=f（x）與y=x₂的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)和為3，結(jié)合函數(shù)f（x）=x²•e^x的圖象，不妨設(shè)y=f（x）與y=x₁的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，則x₁=f（-2）=$\frac{4}{{e}^{2}}$，又x₁•x₂=1，則x₂=$\frac{{e}^{2}}{4}$，故k=x₁+x₂=$\frac{4}{{e}^{2}}+\frac{{e}^{2}}{4}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的求法，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．