Question

17．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過(guò)（4，0）點(diǎn)，且與雙曲線x²-y²=2有相同的焦點(diǎn)．
（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)點(diǎn)M（m，0）在橢圓E的長(zhǎng)軸上，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)|$\overrightarrow{MP}}$|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)坐標(biāo)為（4，0），a=4，c=2，由此能求出橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，求得向量MP的坐標(biāo)，再由模的公式，及二次函數(shù)的最值的求法，可得m的范圍．

解答 解：（1）雙曲線x²-y²=2有相同的焦點(diǎn)為（±2，0）．
∵橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過(guò)（4，0）點(diǎn)，且與雙曲線x²-y²=2有相同的焦點(diǎn)，
∴a=4，c=2，
∴b=2$\sqrt{3}$，
∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1；
（2）設(shè)P（x，y）為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，
由于橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}$=1，∴-4≤x≤4．
∵$\overrightarrow{MP}}$=（x-m，y），
∴|$\overrightarrow{MP}}$|²=（x-m）²+y²=$\frac{1}{4}$（x-4m）²+12-3m²
當(dāng)|$\overrightarrow{MP}}$|最小時(shí)，點(diǎn)P恰好落在橢圓的右頂點(diǎn)，
即當(dāng)x=4時(shí)，|$\overrightarrow{MP}}$|²取得最小值，
而x∈[-4，4]，∴4m≥4，m≥1．
又點(diǎn)M在橢圓E的長(zhǎng)軸上，∴-4≤m≤4．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[1，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的求法，注意運(yùn)用拋物線的焦點(diǎn)和橢圓的離心率公式，考查向量的模的公式和二次函數(shù)的思想，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．