Question

9．已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=6x，
（1）求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，
（2）直線L過(guò)已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，且與拋物線的交點(diǎn)為A、B，求AB的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析 （1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=6x，焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，2p=6，即可求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，
（2）先根據(jù)題意給出直線l的方程，代入拋物線，求出兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的和，然后利用焦半徑公式求解即可．

解答 解：（1）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y²=6x，焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右，2p=6，∴$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$
∴焦點(diǎn)為F（$\frac{3}{2}$，0），準(zhǔn)線方程：x=-$\frac{3}{2}$，
（2）∵直線L過(guò)已知拋物線的焦點(diǎn)且傾斜角為45°，
∴直線L的方程為y=x-$\frac{3}{2}$，
代入拋物線y²=6x化簡(jiǎn)得x²-9x+$\frac{9}{4}$=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=9，
所以|AB|=x₁+x₂+p=9+3=12．
故所求的弦長(zhǎng)為12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題，因?yàn)槭沁^(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)問(wèn)題，所以利用了焦半徑公式．屬于基礎(chǔ)題．