(本題滿(mǎn)分12分)如圖,在長(zhǎng)方體中,已知上下兩底面為正方形,且邊長(zhǎng)均為1;側(cè)棱,為中點(diǎn),中點(diǎn),上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(Ⅰ)確定點(diǎn)的位置,使得

(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求二面角的平

面角余弦值.

 

【答案】

(1)根據(jù)已知中的線線垂直關(guān)系, 來(lái)結(jié)合線面垂直的判定定理來(lái)分析線面垂直,這類(lèi)試題先是猜想點(diǎn)的位置,然后加以證明。

(2)

【解析】

試題分析:方法一:

(Ⅰ)如圖,

分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則

易得 ………………2分

由題意得,設(shè)

則由

,得的四等分點(diǎn).………………………6分

(Ⅱ)易知平面的一個(gè)法向量為,設(shè)平面的法向量為

,得,取,得, ……………10分

,∴二面角的平面角余弦值為.12分

方法二:

(Ⅰ)∵在平面內(nèi)的射影為,且四邊形為正方形,為中點(diǎn), ∴

同理,在平面內(nèi)的射影為,則

由△~△, ∴,得的四等分點(diǎn). …………………6分

(Ⅱ)∵平面,過(guò)點(diǎn)作,垂足為;

連結(jié),則為二面角的平面角;…………………………8分

,得,解得

∴在中,,

;∴二面角的平面角余弦值為. …12分

考點(diǎn):二面角以及線面垂直問(wèn)題

點(diǎn)評(píng):解決該試題的關(guān)鍵是能合理的根據(jù)結(jié)論 ,逆向求點(diǎn)點(diǎn)M的位置,進(jìn)而結(jié)合向量法或者是幾何性質(zhì)法求解二面角,屬于中檔題。

 

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(本題滿(mǎn)分12分)

如圖所示的幾何體是由以正三角形為底面的直棱柱被平面所截而得. ,的中點(diǎn).

(1)當(dāng)時(shí),求平面與平面的夾角的余弦值;

(2)當(dāng)為何值時(shí),在棱上存在點(diǎn),使平面

 

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(本題滿(mǎn)分12分)如圖,在四棱錐P—ABCD中,底面ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,且PD=AB=2,E是PB的中點(diǎn),F(xiàn)是AD的中點(diǎn).

 ⑴求異面直線PD與AE所成角的大。

 ⑵求證:EF⊥平面PBC ;

 ⑶求二面角F—PC—B的大。.

 

 

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(本題滿(mǎn)分12分)

如圖3,在圓錐中,已知的直徑的中點(diǎn).

(I)證明:

(II)求直線和平面所成角的正弦值.

 

 

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(本題滿(mǎn)分12分)

如圖,三棱錐S—ABC中,AB⊥BC,D、E分別為AC、BC的中點(diǎn),SA=SB=SC。

   (1)求證:BC⊥平面SDE;

   (2)若AB=BC=2,SB=4,求三棱錐S—ABC的體積。

 

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