Question

如圖，在空間圖形A-BCDE中，AB⊥平面BCDE，底面BCDE是直角梯形，且∠CBE=90°，BC∥DE，AB=DE=BE=

1

2

BC=1，點(diǎn)C在平面ADE內(nèi)的射影為點(diǎn)F，試求異面直線BF與CD所成角的大小．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角

專題：空間角

分析：以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BE為y軸，BA為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)C在平面ADE內(nèi)的射影為點(diǎn)F，由向量法求出F（2，

1

2

，

1

2

），由此能求出異面直線BF與CD所成角的大小．

解答： 解：以B為原點(diǎn)，BC為x軸，BE為y軸，BA為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
由已知得B（0，0，0），C（2，0，0），
D（1，1，0），E（0，1，0），A（0，0，1），

AD

=（1，1，-1），

AE

=（0，1，-1），
設(shè)F（a，b，c），
則

AF

=（a，b，c-1），

CF

=（a-2，b，c），
∵點(diǎn)C在平面ADE內(nèi)的射影為點(diǎn)F，
∴

CF

是平面ADE的法向量，
∴

CF • AD =a-2+b-c=0 CF • AE =b-c=0 CF • AF =a(a-2)+b2+c(c-1)=0

，
解得a=2，b=c=

1

2

，
∴F（2，

1

2

，

1

2

），∴

BF

=（2，

1

2

，

1

2

），

CD

=（-1，1，0），
|cos＜

BF

，

CD

＞|=|

BF • CD

| BF |•| CD |

|=|

-2+ 1 2

4+ 1 2 • 2

|=

1

2

，
∴異面直線BF與CD所成角的大小為60°．

點(diǎn)評：本題考查異面直線所成角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．