Question

4．已知p：實(shí)數(shù)x滿足（x-a）（x-3a）＜0，其中a＞0；q：實(shí)數(shù)x滿足$\frac{x-3}{x-2}≤0$．
（1）若a=1，且p，q均正確，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；
（2）若￢p是￢q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對值不等式的解法、一元二次不等式的解法即可化簡命題p，q，命題p與q都為真命題，即可得出．
（2）求出￢p是￢q的充分不必要條件得到q是p的充分不必要條件，即可解出．

解答 解：（1）當(dāng)a=1，（x-1）（x-3）＜0，解得1＜x＜3，
由$\frac{x-3}{x-2}≤0$解得2＜x≤3，
∵p，q均正確，
∴2＜x＜3，
故實(shí)數(shù)x的取值范圍為（2，3），
（2）∵￢p是￢q的充分不必要條件，
∴q是p的充分不必要條件，
∵p為a＜x＜3a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a≤2}\\{3a＞3}\end{array}\right.$，
解得1＜a≤2，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍（1，2]．

點(diǎn)評 本題考查了絕對值不等式與一元二次不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．