Question

已知圓C的方程為：x²+y²=4。
（1）直線l過點(diǎn)P（1，2），且與圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|=，求直線l的方程；
（2）過圓C上一動(dòng)點(diǎn)M作平行于x軸的直線m，設(shè)m與y軸的交點(diǎn)為N，若向量，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線。

Answer 1

解：（1）①當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為x=1，
l與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其距離為，滿足題意。
②若直線l不垂直于x軸，設(shè)其方程為y-2=k（x-1），
即kx-y-k+2=0
設(shè)圓心到此直線的距離為d，則
，得d=1
∴
故所求直線方程為3x-4y+5=0
綜上所述，所求直線為3x-4y+5=0或x=1。
（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x₀，y₀）（y₀≠0），Q點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
則N點(diǎn)坐標(biāo)是（0，y₀）
∵
∴（x，y）=（x₀，2y₀），
即x₀=x，
又∵，
∴
∴Q點(diǎn)的軌跡方程是
軌跡是一個(gè)焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，除去短軸端點(diǎn)。