Question

已知圓C₁：x²+y²=r²截直線x+y-

2

2

=0所得的弦長為

3

，拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點在圓C₁上．
（1）求拋物線C₂的方程；
（2）過點A（-1，0）的直線l與拋物線C₂交于B，C兩點，又分別過B，C兩點作拋物線C₂的切線，當(dāng)兩條切線互相垂直時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線與圓的位置關(guān)系

專題：計算題,直線與圓,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意，圓心到直線x+y-

2

2

=0的距離d=

|0+0- 2 2 |

2

=

1

2

；結(jié)合弦長求半徑，從而得到焦點的坐標(biāo)，從而寫出拋物線C₂的方程；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），設(shè)B（m，

m2

4

），C（n，

n2

4

）；與x²=4y聯(lián)立方程化簡得到x²-4kx-4k=0；從而利用韋達(dá)定理得到m+n=4k；m•n=-4k；再由兩條切線互相垂直及導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得k₁•k₂=

1

2

m•

1

2

n=-1；從而解出k，進而寫出直線l的方程．

解答： 解：（1）由題意，圓心到直線x+y-

2

2

=0的距離d=

|0+0- 2 2 |

2

=

1

2

；
故r=

1 22 +( 3 2 )2

   =1；
故拋物線C₂：x²=2py（p＞0）的焦點為（0，1）；
故p=2；
故拋物線C₂的方程為x²=4y；
（2）設(shè)直線l的方程為y=k（x+1），設(shè)B（m，

m2

4

），C（n，

n2

4

）；
與x²=4y聯(lián)立消y可得；
x²-4kx-4k=0；
則m+n=4k；m•n=-4k；
由y=

x2

4

求導(dǎo)得，
y′=

1

2

x；
則在B，C兩點處的切線斜率分別為
k₁=

1

2

m，k₂=

1

2

n；
則由題意可得，k₁•k₂=

1

2

m•

1

2

n=-1；
故mn=-4=-4k；
故k=1；
則直線l的方程為y=x+1，
即x-y+1=0．

點評：本題考查了直線與圓，圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，同時考查了學(xué)生的化簡計算能力，屬于難題．