已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F且斜率為l的直線與拋物線交于兩點(diǎn)M,N,坐標(biāo)原點(diǎn)為O,且△MON的面積為2
2

(1)求拋物線C的方程;
(2)若橢圓E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)F,直線l:y=x+t被橢圓E截得的弦長(zhǎng)的最大值為
8
3
,試求a的值.
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的關(guān)系,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
專題:圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題
分析:(1)由題意可得直線MN的方程為y=x-
p
2
,M(x1,y1),N(x2,y2).與拋物線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長(zhǎng)公式可得|MN|=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
,利用點(diǎn)到直線的距離公式可得點(diǎn)O到直線MN的距離d.再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出.
(2)設(shè)直線l:y=x+t被橢圓E截得的弦為G(x3,y3),H(x4,y4).由于橢圓E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)F(1,0),可得b=1,橢圓的方程化為:
y2
a2
+x2=1
.與直線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系,利用弦長(zhǎng)公式及其函數(shù)的單調(diào)性即可得出.
解答: 解:(1)由題意可得直線MN的方程為y=x-
p
2
,M(x1,y1),N(x2,y2),F(xiàn)(
p
2
,0)

聯(lián)立
y=x-
p
2
y2=2px
,化為4x2-12px+p2=0,
∴x1+x2=3p,x1x2=
p2
4

∴|MN|=
2[(x1+x2)2-4x1x2]
=
2(9p2-p2)
=4p,
點(diǎn)O到直線MN的距離d=
p
2
2
=
p
2
2

∴△MON的面積S=
1
2
d•|MN|
=
1
2
×
p
2
2
×4p
=2
2
,解得p=2.
∴拋物線C的方程y2=4x.
(2)設(shè)直線l:y=x+t被橢圓E截得的弦為G(x3,y3),H(x4,y4).
∵橢圓E:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)F(1,0),∴b=1,
因此橢圓的方程化為:
y2
a2
+x2=1

聯(lián)立
y2
a2
+x2=1
y=x+t
,化為(a2+1)x2+2tx+t2-a2=0,
△=4t2-4(a2+1)(t2-a2)>0,化為a2+1>t2
∴x3+x4=
-2t
a2+1
,x3x4=
t2-a2
a2+1

∵直線l:y=x+t被橢圓E截得的弦長(zhǎng)的最大值為
8
3
,
∴|GH|=
2[(x3+x4)2-4x3x4]
=
2[
4t2
(a2+1)2
-
4(t2-a2)
a2+1
]
=
2
2
a
a2+1-t2
a2+1
2
2
a
a2+1
a2+1
=
8
3
.當(dāng)且僅當(dāng)t=0時(shí)取等號(hào).
解得a=2
2

∴a=2
2
點(diǎn)評(píng):本題考查了直線與橢圓拋物線相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、三角形的面積計(jì)算公式、點(diǎn)到直線的距離公式、函數(shù)的單調(diào)性,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知圓C1:x2+y2=r2截直線x+y-
2
2
=0所得的弦長(zhǎng)為
3
,拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)在圓C1上.
(1)求拋物線C2的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)A(-1,0)的直線l與拋物線C2交于B,C兩點(diǎn),又分別過(guò)B,C兩點(diǎn)作拋物線C2的切線,當(dāng)兩條切線互相垂直時(shí),求直線l的方程.

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3

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1,1≤x≤2
x-1,2<x≤3
,g(x)=f(x)-ax,x∈[1,3],其中a∈R,記函數(shù)g(x)的最大值與最小值的差為h(a).
(1)求函數(shù)h(a)的解析式;
(2)畫(huà)出函數(shù)y=h(x)的圖象并指出h(x)的最小值.

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下列結(jié)論中,正確的是( 。
①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程成正相關(guān)關(guān)系; ②散點(diǎn)圖能直觀地反映數(shù)據(jù)的相關(guān)程度;  ③在統(tǒng)計(jì)中,眾數(shù)不一定是數(shù)據(jù)組中數(shù)據(jù); ④在統(tǒng)計(jì)中,樣本的標(biāo)準(zhǔn)差越大說(shuō)明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大; ⑤概率是隨機(jī)的,在試驗(yàn)前不能確定.
A、①③B、②⑤C、②④D、④⑤

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x2+y2-2x-16y+65
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ξ0123
p0.02p1p2p3
(Ⅰ)求p的值;
(Ⅱ)求該同學(xué)得分的數(shù)學(xué)期望;
(Ⅲ)試比較該同學(xué)選擇都在乙投籃點(diǎn)的分超過(guò)2分與選擇上述方式投籃得分超過(guò)2分的概率的大。

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