Question

17．已知△ABC中，AB+$\sqrt{2}$AC=6，BC=4，D為BC的中點(diǎn)，則當(dāng)AD最小時(shí)，△ABC的面積為$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根據(jù)余弦定理可得：AC²=AD²+2²-4AD•cos∠ADC，且${（6-\sqrt{2}AC）}^{2}={AD}^{2}+{2}^{2}-4AD•cos∠ADB$，進(jìn)而${AD}^{2}=\frac{3{AC}^{2}-12\sqrt{2}AC+28}{2}$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得AC=2$\sqrt{2}$時(shí)，AD取最小值$\sqrt{2}$，由余弦定理求出cos∠ACB，進(jìn)而求出sin∠ACB，代入三角形面積公式，可得答案．

解答 解：∵AB+$\sqrt{2}$AC=6，BC=4，D為BC的中點(diǎn)，
根據(jù)余弦定理可得：AC²=AD²+CD²-2AD•CD•cos∠ADC，且AB²=AD²+BD²-2AD•BD•cos∠ADB，
即AC²=AD²+2²-4AD•cos∠ADC，且${（6-\sqrt{2}AC）}^{2}={AD}^{2}+{2}^{2}-4AD•cos∠ADB$，
∵∠ADB=π-∠ADC，
∴${AC}^{2}+{（6-\sqrt{2}AC）}^{2}=2{AD}^{2}+8$，
∴${AD}^{2}=\frac{3{AC}^{2}-12\sqrt{2}AC+28}{2}$，
當(dāng)AC=2$\sqrt{2}$時(shí)，AD取最小值$\sqrt{2}$，
此時(shí)cos∠ACB=$\frac{8+4-2}{8\sqrt{2}}$=$\frac{5\sqrt{2}}{8}$，
∴sin∠ACB=$\frac{\sqrt{14}}{8}$，
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$AC•BC•sin∠ACB=$\sqrt{7}$，
故答案為：$\sqrt{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，難度中檔．